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4. Übung
Hat schon jemand irgendwelche Lösungsansätze für die 4. Hausübung?
Speziell zur 25d (sollte irgendwas mit der Bernoulli Ungleichung gehen), 26b und 27. An den Aufgaben verwzeifel ich nämlich so langsam aber sicher. :wand: :#: :#: :#:
Also ich poste mal meine Lösungen rein, vielleicht findet sich einer der da was beurteilen kann, bin nämlich nicht sicher. :-/
25a)
n->∞ Grenzwert: ½
25b)
n->∞ Grenzwert: 0 (Meine Begründung: 1/n geht gegen 0 und cosn ist immer zwischen 1 und (-1) ==> eine immer kleiner werdende Zahl multipliziert mit einer Zahl<=1 wird noch kleiner ===>0
25c)
n->∞ Grenzwert: ¼
…= (n+1)/√(4n²+n+2) + √(4n² +1) => in den unteren Wurzeln ist bei sehr großem n: (n+2) in der ersten Wurzel und 1 in der 2 ten Wurzel vernachlässigbar klein ===> …= (n+1)/(2n+2n) = (n+1)/4n =
(1+ 1/n)/4 ==> 1/4
25d)
hier kann ich leider nur mit Argumentation und Zeichnung zum Ergebnis kommen ;-((
Ich erklär mir das so:
in der Klammer ist immer eine Zahl < 1…mit steigendem n wird sie aber immer größer, erreicht jedoch nie die 1… ==>> dabei wird die Zahl jedoch mit einer immer größeren Zahl exponentiert … heißt doch… geht gegen 0 oder? oder doch 1?(da z.B. eine Zahl < 1 zum Exponent noch kleiner wird ) :#: :#: :#:
26a)
kommt bei mir nach langen Rechnungen 1/4 raus
n³/(n³+sämtl. Wurzeln) unter vielen Wurzeln steht (n^4-n³) für n->∞ kann man n³ vernachlässigen, also bleibt n^4…wenn man die Wurzeln dann ausrechnet kommt n³/4n³ raus => gegen 1/4 ??? (nicht sicher!)
:rolleyes:
Lösungsvorschlag zur 26b (zum Glück gibts Physiker mit Nebenfach Mathe, die man fragen kann):
Σ(2/(k*(k+2))) lässt sich schreiben als Σ(1/k - 1/(k+2)) und man hat dann eine Teleskopsumme. Die ersten Folgenglieder sind 1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 -…+… Dann sieht man, dass alles rausfällt bis auf 1/1 + 1/2 und ganz am Ende müsste dann noch irgendwas mit n stehen, das aber wegen n->∞ praktisch zu 0 wird und damit wegfällt. Damit bleibt ein Grenzwert von 3/2 übrig.
Aufgabe 25 d
Also ich habs mit Bernoulli gemacht:
(1-1/n^2)^n = - (-1+1/n^2)^n
(-1+1/n^2)^n >= -1 + n.1/n^2
Da wir aber minus davor haben => Division durch -1 => Richtungswechsel
=< 1 - n.1/n^2
=< 1 - 1/n
1/n = 0 => Folge =< 1 ,also konvergiert gegen 1
Bist du sicher, dass du da Bernoulli anwenden darfst?..Ich glaube das geht nur wenn bei (1+a)^n … a>1 ist … ist 1/n^2 >1 und n muss laut unserem Übungsleiter Element der Nat. Zahlen sein :rolleyes: :rolleyes: :rolleyes:
Bernoulli hat uns unser Übungsleiter (Fischer) empfohlen,ich glaub net,dass er uns einfach verarschen wollte. 
ja stimmt… ich habe mich verschaut… da muss a> -1 sein und nicht größer als 1 … :-)))) danke :-))
Aufgabe 27
Ich habe Aufgabe 27 wie folgt gelöst.
Zunächst einige Vorüberlegungen:
j / n \\
summe (----------------)
k=0 \\ (n+k)(n+k+1) /
j / k+1 k \\
= summe ( ------- - --- ) (Partialbruchzerlegung)
k=0 \\ n+k+1 n+k /
1 0 2 1 3 2 j j-1 j+1 j
= --- - --- + --- - --- + --- - --- ... + --- - ----- + ----- - ---
n+1 n+0 n+2 n+1 n+3 n+2 n+j n+j-1 n+j+1 n+j
j+1
= 0 + -----
n+j+1Mit j->unendlich gilt:
unendl. / n \\
summe (----------------) = 1
k=0 \\ (n+k)(n+k+1) /Damit sollte
unendl. / n \\
lim summe (----------------) = 1
n->unendl. k=0 \\ (n+k)(n+k+1) /sein (oder…?).
Da
/ n \\
lim (----------------) = 0 (Grenzwertbildung gebrochenrationaler Folgen)
n->unendl. \\ (n+k)(n+k+1) /ist
unendl. / n \\
summe lim (----------------) = 0
k=0 n->unendl. \\ (n+k)(n+k+1) /Die Ergebnisse der Aufgabe 27 kann ich bestätigen.
26b
Warum lässt sich Σ(2/(k*(k+2))) so umschreiben???
aah … auf Hauptnenner bringen …
Um unhandliche Brüche in eine Summe von einfacheren Brüchen zu überführen gibt es ein Verfahren, das sich “Partialbruchzerlegung” schimpft.
In “Das gelbe Rechenbuch”, Band 1 (Autor: Peter Furlan) ist das ganze ausführlich erklärt.
Allgemein kann ich das Buch nur empfehlen, da dort mit vielen verständlichen Beispielen gearbeitet wird.