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5. uebungsblatt
nachdem ich jetzt langsam wieder etwas checke, hab ich mich jetzt schon mal an die hausuebungen gemacht und bin auf folgende ergebnisse und fragen gekommen:
32a) divergent
32b) absolut konvergent
32c) konvergent, auch absolut
32d) divergent
33a) absolut konvergent
33b) absolut konvergent
34a) wohldefiniert fuer x element R, konvergent fuer x element ]-1;1[
34b) wohldefiniert fuer x element R{0}, konvergent fuer x element ]0;1[
dazu frage: wie zeige ich, dass die 2n-te wurzel aus (n-quadrat + 1) gegen 1 geht? ich weiss zwar, dass sie es tut, kann es aber nicht beweisen.
34c) wohldefiniert fuer x element R, konvergent fuer x ungleich (pi/2 + k), k element Z
35a) hier habe ich auch keine ahnung, wie ich das bestimmen soll: vielleicht stehe ich extrem auf dem schlauch, aber ich finde keinen ansatz. vorschlaege?
35b) hier muesste man die ergebnisse aus der a) multiplizieren. das cauchy-produkt zu zeigen ist nicht schwer.
btw: was ist eigentlich wohldefiniert? das ist schon dasselbe wie definiert, oder?
34b) setz da mal 1 ein 
ich hab x<0 raus. quotientenkriterium? danach konvergiert die reihe bei mir gegen |e[sup]x/(x-1)[/sup]|.
√(n[sup]2[/sup] + 1) geht gegen +∞. zieh einmal n[sup]2[/sup] aus der wurzel raus, dann hast du n*√(1+1/n[sup]2[/sup]).
34c) du meinst doch sicher (pi/2 * k)?!
35a) den faktor drei kannst du vor die summe ziehen. und dann hast du einen altbekannten vertreter vor dir stehen 
der beweis des cauchy produktes ist einfach?! dann hab ich was falsch, meiner hat ne ganze seite :-/
Hab mich auch mal über das Übungsblatt gemacht, und habe ähnliche Ergebnisse wie Steppenwolf, ausser bei:
32c) Reihe ist konvergent, aber nicht absolut, da:
1/sqrt(n-quadrat +1) >= 1/n+1 >= 1/2 * 1/n für alle n >= 1 ,n element N
Summe 1/n ist divergent, Minorantenkriterium => Reihe ist nicht absolut
34b) Der Definitionsbereich müsste R/{1} heissen, aber sonst hab ichs auch so
34c) habe noch einen anderen Konvergenzbereich für x :rolleyes:
undzwar muss nach Wurzelkrit gelten: |sin(2x)| < 1
also muss man sin(pi/2), sin(3/2 * pi), sin(5/2 * pi) etc. rausnehmen
das wäre dann für x = pi/4 , 3/4 * pi, 5/4 * pi etc.
also konvergiert die Reihe dann für alle x ungleich ((2k + 1) * pi)/4 , k element Z
muss nicht stimmen, wär nett, falls jm. kurz beschreiben könnte, wie er auf
sein anderes ergebnis kommt bzw. ob bei mir was falsch ist.
35a) Wenn man weiss, wohin die Reihe (1/ 2 hoch n) konvergiert, isses nicht mehr schwer
ole, ole, der elzo hat was geschrieben 8-( ! ich hoffe, in zukunft oefters 
!
zur mathematik:
32c) ok, das sehe ich nach einigem ueberlegen ein, dass sie nicht absolut konvergent ist. wie bist du denn auf die abschaetzungen gekommen? btw: beim minorantenkriterium sind konstante faktoren also egal?
34b) hab natuerlich die 1 auf dem blatt stehen, aber eine 0 gepostet. dummheit siegt! da elzo dasselbe ergebnis hat wie ich, wuerde ich sagen, kabel ist ueberstimmt. oder will ihm jemand helfen :)?
34c) ja, da hab ich mich vertan. es muss aber auch kein malzeichen dahin, sondern im prinzip das ergebnis vom elzo. etwas anders geschrieben sieht es so aus: reihe konvergiert fuer x ungleich (pi/4 + kpi/2), k element Z
ich hab das ganze als geometrische reihe gesehen, also muss |sin 2x|<1 sein, wie bei elzos wurzelkriteriumansatz auch. also folgt anschaulich:
2x ungleich pi/2 + kpi;
x ungleich pi/4 + k*pi/2
35a) dass man das auf die summe von (1/2) hoch n vereinfachen kann, war mir schon klar. aber so altbekannt ist mir der vertreter nicht, jedenfalls hab ich keine ahnung, wogegen diese summe geht. bitte wieder um hilfe…
der altbekannte ist die geometrische summe; guck auch mal aufgabe 18 und aufgabe 15 (a) an.
Hmmm … moment mal…ist 32b) nicht divergent?
also unser Ü-Leiter sagte in der Übung, dass Σ2n/3^n konvergiert… WEIL die geom.Summe von (2/3)^n als q=2/3 hat…und dass ist kleiner als 1.
Hier sillte es doch umgekehrt sein…oder? 3/2=q => >1…nicht konv. also? … oder irre ich mich da? :#:
32b) laesst sich leicht ueber das Quotientenkriterium und anschliessendem “lim n gegen unendlich” berechnen. Das Ergebnis des lim ist dann 1/2 < 1. Daraus folgt absolute Konvergenz.
@Antoli:
Da 3n/2-hoch-n <= 3-hoch-n/2-hoch-n fuer alle n >= 1
kannst du dadurch, dass du zeigst, dass 3-hoch-n/2-hoch-n divergiert nicht auf die Divergenz von 3n/2-hoch-n schliessen.
Um das “Minorantenkriterium” anzuwenden, muesste dass “<=”-Zeichen umgedreht sein.
DANKE… stimmt … habe heute auch festgestellt
Was sagt ihr zu 32d)?? :#:
kann man das nicht so lösen, indem man sagt…Summe von
(2/(2n-1) - 2/(2n+1))=2-2/3+2/3-2/5+2/5-…-1/(2n+1)
…Teleskopsumme… =2-1/(2n+1)…für n->unendl. geht es gegen 2…also konvergent (Habe keine Kriterien angewandt)? :#:
:motz: mist…
:motz: mist…
:motz: mist…
@Anatoli: ja das geht wunderbar… habs auch so gelöst… und der Engel in der Übung übrigens auch!
zu 34b)
@Kabel: die konvergenz gegen esup[/sup] stimmt. Aber <1 und damit konvergent ist das nur wenn (x/x-1) < 0 ist, und das ist nur erfüllt für
xε]0,1[ wie Steppenwolf schon richtig gesagt hat. Gib (x/x-1) einfach mal in in Mathematika ein und lass dir den Grafen zeichnen!
zu 34c)
die Bedingung für Konvergenz muss lauten xεR{2kpi + (pi/2)}, kεZ
zu 35a)
da man die Faktoren 3 und 5 aus den Summen rausziehen kann, konvergieren die Folgen jeweils gegen 6 und 10:
(dass Σ(1/2[sup]n[/sup]) gegen 1/(1-(1/2)) = 2 konvergiert folgt aus der Tatsache, dass q = (1/2) < 1 ist)
Σ3/2[sup]n[/sup] = 3 * Σ 1/2[sup]n[/sup] = 3 * Σ (1/2)[sup]n[/sup] =(für n->∞)= 3 * (1 / 1 - (1/2)) = 3 * 2 = 6
Σ5/2[sup]n[/sup] = 5 * Σ 1/2[sup]n[/sup] = 5 * Σ (1/2)[sup]n[/sup] =(für n->∞)= 5 * (1 / 1 - (1/2)) = 5 * 2 = 10
zu35b)
das Cauchy-Produkt berechnet man einfach:
c[sub]n[/sub] = Σ(von k=0 bis n): (3/2[sup]n[/sup]) * 5 + (3/2sup[/sup]) * (5/2) + … + (3/2) * (5/2sup[/sup]) + 3 * (5/2[sup]n[/sup]) = (n+1) * (15/2[sup]n[/sup])
Σc[sub]n[/sub] ist dann absolut konvergent, da die andern beiden Summen ja absolut konvergent sind, und ihr Grenzwert ist 6 * 10 = 60
Danke
die letzte hab ich auch so ähnlich
zu34c) habe das gleiche wie STEPPENWOLF :-/
zu 34c)
stimmt… hab da irgendwie die Betragsstriche übersehen… hehe… :rolleyes:
die Bedingung ist dann natürlich xεR{k*pi + (1/2)*pi)
zu 34a)
Die Summe konvergiert auch für x = -1, da sich dann die alternierende Folge
(-1)^n
an = -------
sqrt(n)ergibt, welche (analysiert mit Leibnitzkriterium) konvergent ist.