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Abzählbarkeit
Kann es ein, dass Folgen immer abzählbar sind? Ich mein, ich hab ja quasi ne injektive Abbildung von den nat. Zahlen auf eben die Folge.
Versteh ich das richtig?
Tät ich schon sagen, ja.
Wikipedia:
Eine Menge bezeichnet man als abzählbar (oder abzählbar unendlich), wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen.
Hm, was soll mir das sagen? Passt doch auf meine Aussage oder?
…was mir grad aufgefallen ist… Das mit der injektiven Abbildung IN → IR stimmt natürlich nicht so ganz, weil a_i = 1 natürlich auch eine Folge aber die Abbildung nicht wirklich injektiv ist.
Aber man kann eine Folge als Menge von Tupeln (n_i, x_i) betrachten, wobei U{n_i} = IN. Und diese Menge hat offensichtlich die Mächtigkeit von IN.
Also meistens geht man für Definitionen von “Mächtigkeitsvergleichen” über bijektive Abbildungen. Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Mächtigkeit_(Mathematik).
Aber Folgen sind doch keine Mengen in dem Sinne (wie gesagt: nicht notwendigerweise injektive Abbildungen N->X), also wieso willst du sie mit N vergleichen? Du kannst halt sagen das die Existens von bijektive Folgen N->X |N|=|X|, also Abzählbarkeit, bedingt, aber meinst du das? ^^
@immoartl: N=N war sowieso irgendwie klar, oder? 
Eine Folge ist eine Abbildung von IN->X wobei X allgemein eine Menge ist. Es ist also nicht sinnvoll, einer Folge das Attribut abzählbar oder nicht abzählbar zuzuordnen. Vielmehr werden Mengen (!) als abzählbar oder nicht abzählbar kategorisiert.
Man kann zeigen, dass eine Menge abzählbar ist, wenn ihre Elemente sich als Folgenglieder einer Folge darstellen lassen, da es dann eine surjektive Abbildung von IN in die Menge gibt (denn jedem Element der Menge kann ein Folgenindex zugeordnet werden).
Die Abbildung müsste für Abzählbarkeit schon auch injektiv sein, sonst hast du doch nur |X|<=|N|. Oder welche Definition für Abzählbarkeit nimmst du her?
Wenn |X|<=|IN| so ist natürlich X auch abzählbar. Denn eine überabzählbare Menge hat die Eigenschaft, dass ihre Mächtigkeit größer ist als die von IN.
(Das war jetzt sozusagen ein Widerspruchsbeweis in einem Satz 
)
Das hängt davon ab ob nach der Definition nicht-Überabzählbarkeit Abzählbarkeit bedingt. Das ist bei Abzählbarkeit <=> |X|=|N| nicht der Fall…
Aus ¬|X|>|N| folgt ja erstmal nur |X|<=|N| und das ist je nach Definition entweder abzählbar oder höchstens abzählbar.
Naja halt der übliche Definitionismus. :>
Es gilt: nicht überabzählbar <=> abzählbar
|X|<=|IN| => X nicht überabzählbar => X abzählbar
Nicht überabzählbar <=> abzählbar gilt eben nur für bestimmte Definitionen von Abzählbarkeit.
Wenn Abzählbarkeit <=> |X|=|N|, dann ist nicht-Abzählbarkeit |X|≠|N| nämlich nicht äquivalent zu Überabzählbarkeit |X|>|N|. :>
Die Definition Abzählbarkeit <=> |X|=|N| ist auch nur begrenzt sinnvoll. Denn endliche Mengen sollen ebenfalls abzählbar sein und diese haben nicht die Mächtigkeit von IN. Ich habe eben nochmal in meinem alten Analysis1-Skript geblättert:
Definition:
Eine Menge X heißt abzählbar, falls sie endlich ist oder |X|=|IN| gilt.
Übersetzt auf unser Problem bedeutet dies also :
Abzählbarkeit <=> |X|<=|IN|
Jo, im Zuge dieser Definition würde man dann meistens auf “höchstens abzählbar” <=> |X|<=|N| zurückgreifen.
Was ist denn jetzt eigentlich unser Problem?
Mächtigkeit von Funktionen ist nicht so recht definiert; wenn man über Relationen geht und diese als Tupel-Mengen auffasst (siehe immoartl) gibts natürlich nur triviale Ergebnisse in Bezug auf die Mächtigkeit dieser Tupelmenge. Irgendwie kann ich mir ne “allgemeine” Ordnung von Funktionen auch garnicht vorstellen. Jeder kennt ja diese kontextgebundenen Klassifikationen (sind aber meistens ehh nur Äquivalenzrelationen) mit denen wir auch schon zu kämpfen haben: algorithmisch/berechenbarkeits-mässiger Kram, lineare/stetige/diffbare/… Funktionen; Kategorientheorie bietet da noch einiges mehr, aber alles bleibt im “wohlumrissenen Kasten”.
Joi, geile Diskussion, gefällt mir!
Worum es mir aber eigentlich gib war:
In der Aufgabe 5 (klausur.ps seite 13) von Herrn Grabmüllers Aufgabensammlung für die Klausur von neinzahunnerdselbigsmoll (so sagt man bei uns) geht es um eine Folge, deren Konvergenz bewiesen ist. Und man soll die Menge M betrachten, die aus den Folgegliedern besteht. Und man soll sagen, ob diese Menge ne “Nullmenge” ist.
So, erstens hab ich diesen Begriff noch nie gehört!
Und zweiten hab ich in der Lösung nachgeschaut und was von Abzählbarkeit gelesen. Daraufhin hab ich mir natürlich Gedanken gemacht, warum die Menge abzählbar ist. Und daraufhin hab ich mir gedacht naja, eigentlich hab ich Natürliche Zahlen und bilde sie auf die Folgeglieder ab. Und abgesehen von dem a_0 = 1 und a_i = 1 ist das auch injektiv. Naja und dann hab ich halt einfach mal die Vermutung mit “alle” Folgen sind abzählbar aufgestellt.
Natürlich meinte ich die Mengen der Folgeglieder, sorry, für die saloppe Ausdrucksweise 
Stelln sich die Fragen, was ist eine Nullmenge und warum abzählbar???
- Nullmenge:
Ich weiß zwar nicht, ob ihr das in Mathe gemacht habt, denke aber nicht. Trotzdem kurze Erklärung:
Nullmengen sind Mengen, die Maß 0 haben. Das Maß einer Menge kann man sich als so etwas wie das Integral über diese Menge vorstellen (der Begriff Maß führt aber hier definitiv zu weit). s. auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Nullmenge
Es gilt nun, dass alle abzählbaren Mengen Maß 0 haben und damit Nullmengen sind. Somit ist die Menge der Folgenglieder einer Folge immer eine Nullmenge, denn IN ist abzählbar und damit auch die Menge der Folgenglieder.
Was man an dieser Stelle vielleicht noch sagen sollte, ist, dass man hier (ich hoffe, ich sage jetzt nichts falsches) nichts mit injektiv und surjektiv verwechseln sollte. Abbildungen können diese Eigenschaften haben. Eine Folge ist eine Abb. IN → X , X beliebiege Menge, und kann inj. oder surj. sein.
Allerdings gilt für die Menge der Folgenglieder F: |F| <= |IN|. Insofern kann eine Menge von Folgengliedern gar nicht überabzählbar sein, und es spielt keine Rolle, ob die Folge inj. oder surj. ist. Denn F ist eine Teilmenge (!) von X (z.B. im Fall X = IR immer eine echte, abzählbare Teilmenge).
Ich hoffe, das ist einigermaßen verständlich!
Bis auf die Nullmenge <=> abzählbare Menge wäre die Aufgabe also sogar lösbar gewesen, wobei das ne ziemlich komische “Lösung” ist einfach die Definition zu kennen. ^^
Und das die Menge der Folgenglieder abzählbar ist konnte man ja eigentlich schon immoartl’s Post entnehmen…
Naja, aber schön zusammengefasst. 
Kleiner Hinweis am Rande: es gilt nicht, dass jede Nullmenge abzählbar ist.
Es gibt hier sogar konkrete Gegenbeispiele. Wen es interessiert, der kann sich mal über den Begriff Cantor’sche 1/3-Menge schlau machen.
Ach stimmt, ich war mal wieder zu forsch, Stef hat ja nur gesagt das
Abzählbarkeit => (Maß 0 <=> Nullmenge). ^^