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Äquivalenzrelation bei Vektorräumen Altklausur C1 WS16/17
In der Altklausur Mathe C1 WS16/17 (https://fsi.cs.fau.de/git_public/klausuren/mathe1/2017-02-23.pdf) ist folgende Aufgabe
A2 ii)
Sei V ein beliebiger Vektorraum über R und U ⊂ V ein Untervektorraum. Zeigen Sie,
dass durch die Relation x ∼ y :⇔ x−y ∈ U eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
Wie Beweise ich die 3 Eigenschaften der Äqvivalenzrelation bei Vektoren?
1.) x-x∈U
2.) x-y∈U => y-x∈U
3.) x-y∈U ^ y-z∈U => x-z∈U
- x-x = 0∈U ist offensichtlich
- x-y∈U => -(x-y)∈U => -x+y∈U => y-x∈U
- x-y∈U ^ y-z∈U => (x-y)+(y-z)∈U (weil U abgeschlossen unter Vektoraddition) => x-z∈U
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