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Aufgabe 19
Zu a) Darf man zur Lösung dieser Teilaufgabe mit dem lim rechnen oder net? Da steht ja irgendwie so komisch da, dass man nur mit der ε-Def rechnen soll, oder ist damit automatisch das lim-Verfahren (Kürzen aller Faktoren durch die höchste vorkommende Potenz von n) gemeint?!
zu b; Der grenzwert ist ja kein Problem (b = 0), aber wie bitte schön soll man diese Ungleichung dritten Grades lösen? Hat da jemand schon einen Weg / Ergegnis?!
Thanx for your response! 
zu b)
ich hab ne abschätzung in die rechnung mit reingebracht. du kannst die ungleichung in folgende form bringen:
-e/n^2 < 4ne - 1
der linke term ist negativ
und
der rechte muss größer sein als etwas negatives.
also kannst du abschätzen:
0 <= 4ne - 1 (passt auf jeden fall)
n => 1/(4e)
n0 = (1/4) * 10^2003
dann noch einen test auf erfüllung des geforderten kriteriums (naja, es ist erfüllt ), und no ist gefunden.
HTH && HT correct 
Ich glaube mit dem lim-Verfahren darf man da nicht hantieren, sonst hat man die ε-Definition nicht benutzt. Wahrscheinlich muss man den
| a[sub]n[/sub] - a | < ε Ansatz benutzen. Da das ε frei wählbar ist, interessiert eigentlich nur das n und man muss möglicherweise zeigen, dass die Ungleichung nicht nur für n gilt, sondern auch für n+1, es könnte also auf eine Induktion hinauslaufen. Habe das zwar versucht, aber dann habe ich da einen Bruch dastehen, der die Abscheulichkeit in Reinkarnation darstellt. Aber wirklich weiter bin ich damit nicht gekommen. :#:
Vielleicht geht’s auch ganz anders.
Weitere Vorschlägen sind sicher weiterhin herzlich wilkommen.
Also mit Induktion??? hmmm …
Ich habs folgendermaßen gelöst. Man nimmt die ε-Def. her und rechnet des einfach aus:
dann komm ich auf | (n + 4) / (n² - 8) | < ε. Weiter komm ich mit normalem rechnen nicht mehr - oder ich bin jetzt einfach zu müde des zu sehen. Wenn man jetzt allerdings n → unendlich gehen lässt, (ums anschaulicher zu gestalten: | 1 / ( (n² - 8) / (n + 4)) | < ε ) dann geht (n + 4) gegen 0, somit (n² - 8) / (n + 4) gegen unendlich und 1 / … wider gegen 0, sprich es kann beliebig klein werden und das ist doch die Definition der Konfergenz mit Hilfe von ε.
Zusätzlich muss man natürlich noch beweisen, dass das ganze für n>=3 monoton fallend ist. Aber da wir das ganze ja im unendlichen betrachten, dürfte die 3 hier eigentlich icht stören, oder?
Also müsste die Aufgabe dadurch doch gelöst sein. Anders gehts meiner Meinung nach net :wand:
zur b)
Ich denke, auch, dass es mit Abschätzung zu machen ist. Wie diese Ausschaut … naja, ich schätz mal hauptsache eine für dies stimmt. Ich habs mal so versucht:
n^3 / (4n^3 + 1) >= n^2 / (4n^3 + 1) | Stimmt auf jeden Fall da wir ja n aus N auswählen!
Blöd is blos des Ausrechnen danach - mit Taschenrechner gehts nicht :motz: Aber vom Prinzip her müssts doch stimmen, oder?
also ich hab die a.) einfach mit lim gerechnet und es geht genau auf.
es kommt am ende 2/1 (grenze ist ja 2) raus da alle anderen die man vorher mit n^2 dividiert hat gegen null laufen. ich seh keinen anderen weg, lass mich aber gern eines besseren belehren. :ohr:
Das es genau aufgeht ist schon klar, sonst würde das ganze ja net gegen 2 konvergieren. Aber in der Aufgabenstellung ist explizit verlangt, dass man das Ganze NUR mit Hilfe der ε-Definition löst. Das musst du also schon irgendwie mit einbauen. :anx: