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Aufgabenblatt 1
Auf gehts… 
Hab bisher aber nur die Aufgabe 4 mal durchgeschaut
4a) lim f1(x)= 0
4b) lim f2(x)= (8/3)^3
4c) lim f3(x)= 0
4d) lim f4(x)= -3/2
Mal so eine Frage, glaubt ihr man soll bei den Aufgaben auch die komplexen Eigenwerte berechnen?
Naja, die 1a) wär sonst denk ich wenig sinvoll…
Aber mal ein paar Ergebnisse:
1.
A
l = +i => p = [i,1]
l = -i => p = [-i,1]
B
l = 0 => p = [1,0,0]
l = 3 => p = [1,3,0]
l = 5 => p = [4,10,5]
H
…hab ich erstmal hinten angestellt, nachdem ich bis jetzt nur die Spur aber kein Mathe-Skriptum da hab… 
Nach den ersten so schönen Ergebnissen bin ich mir jetzt schon ein bisserl blöd vorgekommen, hab aber sicherheitshalber doch alles wirklich nachgerechnet… Kann’s sein, dass man da mit Diagonalmatrizen so einiges an Zeit sparen könnte (ich hab jetzt mal statt dem Mathe-Skriptum Maple genommen, das hat auch Zeit gespart, aber…)?
A
l = 4 (2x) => p = [1,0,1]
l = 2 (1x) => p = [1,0,-1]
A^2
l = 16 (2x) => p = [1,0,1]
l = 4 (1x) => p = [1,0,-1]
3A + 4E
l = 16 (2x) => p = [1,0,1]
l = 10 (1x) => p = [1,0,-1]
A^-1
l = 1/4 (2x) => p = [1,0,1]
l = 1/2 (1x) => p = [1,0,-1]
A^T
l = 4 (2x) => p = [0,1,0]
l = 2 (1x) => p = [-1,-1,1]
a) (Editiert)
Multiplikation mit transponierter Matrix ist nicht kommutativ => nicht normal
b)
A
l = 6 => p = [1,2]
l = 3 => p = [2,1]
A^2
l = 36 => p = [1,2]
l = 9 => p = [2,1]
A^-1
l = 1/6 => p = [1,2]
l = 1/3 => p = [2,1]
A^2 - 2A + E
l = 25 => p = [1,2]
l = 4 => p = [2,1]
c)
Matrizen mit den Eigenvektoren in den Spalten;
Invertiert: [ 2/3,-1/3; -1/3,2/3 ]
a) 0
b) (8/3)^3 = 256/27
c) 0
d)
c <= 1: n.d.
-1 < c < 1: (ln(1+c) + 7)/5
c = 1: (ln(2) + 4)/7
c > 1: -3/2
a) f(x) = -x; g(x) = x + c
b) Ist irgendwie seltsam, solange keiner hinschreibt, dass -\infty + \infty != -\infty sein soll…
Aber gemeint ist vermutlich: f(x) = -x^2; g(x) = x
Danke immoartl, dass du alles aufgelistet hast. Ich war da jetzt schlichtweg zu faul 
- H hab ich auch hinten angestellt und ich befürchte mir fehlt auch die weitere Motivation dafür
Ansonsten hab ich alles andere absolut identisch. Bei der 2. A^T hab ich mich glaub ich verrechnet. Bin mir recht sicher, dass ich mich verrechnet hab, also sag ich einfach mal das stimmt bei dir. Rest hab ich genau gleich.
Bei der 5b) hab ich mir einfach gedacht: f(x) = -2x , g(x) = x >> f(x)+g(x) = -x , alle Anvorderrungen sollten dann erfüllt sein?
Bei der 3c) hab ich [ -1/3,2/3 ; 2/3,-1/3], wobei mein T so aussieht: [1 , 2 ; 2 , 1] >> Du hast vermutlich T “anders rum” aufgestellt, was ja egal sein sollte?
Edit: ich seh grad ich hab doch was anders: bei der 3a) ist bei mir A * A^T =/= A^T * A >> nicht normal ?
[ 8,10 ; 10,53] =/= [ 8,-10 ; -10,53]
Flo
Mein T ist anders rum, und es funktioniert jedenfalls…
Hab’s sicherheitshalber nochmal schnell ge-maple-t:
[m]
A = 2 2
-2 7
A* = 7 -2
2 2
A . A* = A* . A = 18 0
0 18
[/m]
Edit:
A ja, jetzt seh ich’s grad… Du rechnest mit der transponierten Matrix und nicht mit der adjunkten…
…und irgendwie scheint das richtig zu sein, und ich hab keine Ahnung, wie ich…
Jetzt hast du mich verwirrt
Da wir ja eh nur reelle Zahlen und keine komplexen haben, sollte da nicht gelten:
[m]
A = 2 2
-2 7
A* = A^T = 2 -2
2 7
[/m]
Ja, eh…
Ich hab nur irgendwo schnell nachgeschaut, wie man denn nochmal überprüft, ob eine Matrix normal ist, und irgendwie bin ich dann wohl auf die Idee gekommen, nicht die transponierte sondern die adjunkte Matrix zu verwenden… Frag mich nicht…
Mein erstes google Ergebnis war der Wikipedia Link und da die Zeile A * A^T =/= A^T * A
Jetzt nochmal ne Verständnisfrage:
Wenn nach dem Eigenwertraum zu einem Eigenwert λ gefragt ist, dann okay, dann geb ich halt an:
span{[1,0,0])
Aber was, wenn nach dem Eigenvektor zu einem Eigenwert λ gefragt ist? Geb ich dann einfach nur an:
v = [1,0,0] ?
Ich mein es gibt ja unendlich viele, [4,0,0] ist ja auch ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert λ.
Nicht umsonst gibts ja den Eigenwertraum.
Wenn ich jetzt allerdings schreib:
v = c * [1,0,0] mit c ∈ C, dann ist das ja identisch mit span{[1,0,0]} ?
Also ich find die Frage nach “dem” Eigenvektor noch ein wenig verwirrend, weil es handelt sich dabei doch immer um einen ganzen Raum, indem halt alle Eigenvektoren liegen, die zu einem bestimmten Eigenwert λ gehören?
Oder denk ich grad einfach etwas verdreht und überseh was?
Es kann mehrere l.u. Eigenvektoren zu einem Eigenwert geben, allerdings ist die geometrische Vielfachheit <= der algebraischen.
Implizit ist hier wohl immer linear unabhängige Eigenvektoren gemeint, sonst würde es tatsächlich immer unendlich viele geben.
Auf gut Deutsch heißt das dann:
Wenn nach “dem” Eigenwert gefragt ist, geb ich einfach an: v = [1,0,0]
Aber im Prinzip wäre anstatt der Frage nach “einem” Eigenwert immer die Frage nach “dem” Eigenwertraum sinnvoller? Weil da kann ich “die” Eigenvektoren ja auch ablesen.
Mehrere linear unabhängige Eigenvektoren, heißt doch nichts anderes wie geo. Vielfachheit > 1? Hatten wir ja blöderweise in keiner Übungsaufgabe…
Aber die Rechnung bleibt ja so oder so die gleiche.
Wenn’s um einen Eigenvektor geht, würd ich das machen… 
Eigentlich schon… „Geben Sie so viele lin. unabh. Eigenvektoren wie möglich zu jedem Eigenwert an“ wär aber auch richtig… Müssen halt nur irgendwie den entspr. Raum aufspannen…
Ganz primitives Beispiel:
Id_n hat den n-fachen Eigenwert 1, die Eigenvektoren spannen den gesamten IR^n auf → geometr. Vielfachheit = n
Und damit wär dann auch ich zufrieden
Zu H aus 1:
Die Matrix spiegelt Vektoren an der Ebene, auf die w die normale ist.
=> Eigenwerte: -1, 0
Eigenvektoren zu -1: vielfache von w.
Eigenvektoren zu 2: alle vektoren die inner ebene liegen.
geometrische vielfachheit -1: 1
geometrische vielfachheit 0: n-1
aritmetisch: kein plan.
hat irgendwer was aehnliches?
also laut so nem schlauen lösungsbuch, in dem zufällig die aufgabe drin ist, handelt es sich um die sogenannte Householder-Matrix. deine ergebnisse passen soweit, die arithmetischen vielfachheiten sind jeweils die selben wie die geometrischen.
peace