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Aufgabenblatt 13
hm…so wies aussieht schaffts der leerstuhl wieder nicht das aufgabenblatt online zu stellen…
könnte das jemand übernehmen???
bütte…
Hab leider keinen Scanner…
…dafür aber ein paar Lösungsvorschläge, wobei ich mir zumindest bei der 52 alles andere als sicher bin, weil ich zumindest vermute, dass ich da nicht in der Vorlesung war… 
52a) T = [1 0 1/3 0; 0 1 0 3/5; 0 0 2/3 0; 0 0 0 2/5]
52b) sx^3 - (19/4)x^2 + 2x + (1/2)[/s]
2L_3 - 2L_2 + 5L_1 - (1/2)L_0
53a) Kern A^T = {0} Kern A^T = span{(-1,4,1)}
53b) dim Kern A = 2, b3 = b1 - 4b2
53c) Rang A = 2, ONB: a1,a2 normiert
53d) Nullvektor
54
P3(t) = (-1/3)t^3 + t^2 + (1/3)t + 1
P2(t) = (1/2)t^2 - (1/10)t + (13/10)
P1(t) = (2/5)t + (9/5)
Welches sich dann so ausschaut wie im Anhang
55a) Die Gleichungssysteme ergeben die Spaltenvektoren der inv. Matrix:
[2/3 -1 4/3; -1/3 1 -2/3; -1/6 1/2 -5/6]
Attachment:
graph54.png: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_31638/graph54.png
Hab bis dato nur mal die 53 gerechnet. Da kann ich allen Ergebnissen zustimmen, nur bei der a) hab ich:
Kern A^T = span{(-1,4,1)}
?
@Mumu: Das 13er ist mittlerweile online
Ay, mir scheint du hast Recht… Was so eine einzelne Ziffer alles ausmacht… 
Ich kann jetzt zwar auch nicht sagen, wann man für die 52 in der Vorlesung hätte sein müssen (die berühmte Geschichte mit der rein körperlichen Anwesenheit… ), aber ich mach trotzdem mal nen neuen Ergebnisvorschlag (Seite 213 bis 215 im Grabmüller)
a) F = [(1 0 0 0) , (0 1 0 0) , (-1/2 0 3/2 0) , (0 -3/2 0 5/2)]
T = [(1 0 0 0) , (0 1 0 0) , (1/3 0 2/3 0) , (0 3/5 0 2/5)]
b) P(x) = 2 * L3(x) - 2 * L2(x) + 5 * L1(x) - 1/2 * L0(x)
54 und 55 kann ich alles so bestätigen.
War bei der 52 die andere Richtung (–> T bei dir) tatsächlich gefragt? Ich hab’s zwar mal hingeschrieben und komm auf das gleiche Ergebnis, aber ich hätte die Aufgabe eigentlich anders interpretiert… ?
Gut, und was ich bei der 52b) geschrieben habe, ist offensichtlicher Blödsinn… :red:
Allerdings schaff ich’s auch irgendwie nicht so ganz, auf dein Ergebnis zu kommen, sondern bin mittlerweile bei:
(1/2)L_0 + 2L_1 - (19/4)*L_2 + (19/2)*L_3
(Wobei das andere schon irgendwie schöner ausschaut… Hmm… Vielleicht bin ich auch nur noch nicht ganz wach… )
Hm, ich hab mir das so gedacht:
Mein Ausgangssystem A ist das normale (1,x,x^2,x^3), mein Zielsystem B sind die Legendre. Und ich will ja von A nach B wechseln, also ist meine Basistransformation F = B * A^-1, und meine Koordinatentransformation T = B^-1 * A.
(Ich sollte vielleicht anmerken, dass meine Schreibweise da oben so zu interpretieren ist: [ (1er Spaltenvektor) , (2ter), usw. ] )
Zu meinem Ergebnis bei der b): Naja, da hab ich eigentlich nur das gegebene Polynom zur Basis A in nen Vektor λ gebastelt, und dann den neuen Vektor in der Basis B mit μ = λ * T ausgerechnet.
Das schöne: Wenn man jetzt in P(x) = 2 * L3(x) - 2 * L2(x) + 5 * L1(x) - 1/2 * L0(x) wieder die Legendre einsetzt, dann kommt man wieder auf das angegebene Polynom.
Scheint mir alles ganz stimmig, aber wie gesagt, ich kann mich da auch grad nicht auf ne Vorlesung stützen…
Ich werd mir wohl erstmal noch das entspr. Kapitel aus dem Skriptum gscheit durchlesen…
Im Skript machen die ganz analog nen Wechsel von 1,x,x^2,x^3 auf Legendre (Beispiel Seite 214 glaub ich). Allerdings über ne Matrix S. Da war ich dann zu faul das entsprechende Zeug zu lesen, um zu wissen, was genau es mit S auf sich hat und warum man das überhaupt noch verwendet.
Der Weg über A und B schien mir irgendwie schlauer, und so wies aussieht geht er auch ohne weiteres.
Die neuen Koordinaten erhält man (vgl. Beispiel im Grabmüller-Skript auf Seite 212) folgendermaßen: wenn λ der Koordinatenvektor des Polynoms bezüglich der alten Basis ist, dann ist μ = T*λ. λ ist dabei ein Spaltenvektor, ebenso μ und T ist die in a) gesuchte Transformationsmatrix.
So, ich hab’s jetzt noch einmal Schritt für Schritt nach Skriptum (bei mir Seite 208ff?) durchgerechnet, und komme mittlerweile also auch auf 2L_3 - 2L_2 + 5L_1 - (1/2)L_0.
Könnte also passen…
Hat eigentlich schon jemand was erwähnt, ob es noch ein 14. Blatt geben wird? In Algo scheint ja nach #12 zumindest mit den Pflicht-Punkten Schluss zu sein…
14tes wirds noch geben, das ist dann das Letzte. Zumindest ist das mein letzter Informationsstand
Naja, für ein fünfzehntes wär dann ja wohl wirklich keine Zeit mehr… FERIEEEENNN!!!
Kurze Frage:
ergibt bei euch die Normierung bei der 53c) auch recht unschöne Ergebnisse oder mach ich da was falsch???
(1/sqrt(2)) * a1
(1/3) * a2
Und jetzt zur Diskussion über die Ästhetik normierter Vektoren…
ach man kann einfach so die beiden Vektoren durch ihre Länge teilen?
Ich hatte das Schmitt-Verfahren auf die beiden angewandt und bekomm da was ganz anderes raus.
Aber wenns so gemacht werden soll umso besser.
Das Gram-Schmidt-Verfahren kannst du dir deshalb sparen, weil die Dinger ja ohnehin schon senkrecht aufeinander stehen => normieren, und die Orthonormalbasis ist fertig.
[Double Post…]
[Hm… Grad vorher war der Beitrag noch nicht da…]