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Aufgabenblatt 7
Zunächst mal ein paar Ungereimtheiten die mir aufgefallen sind:
Bei Aufgabe 27 ist von der Kleinschen Vierergruppe die Rede, aber ich hab da eigentlich immer eine spezifischere Definition mit c^2=e gesehen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe
Die 27b) ist ein bisschen trickreich, aber man kann schön ein paar Isomorphismus-Eigenschaften ausnutzen um nen Widerspruch herzukriegen.
Aufgabe 28 ist auch ein bisschen vertrackt. Zunächst mal findet man auf “naive” Weise kein neutrales und keine inversen Elemente in . Wenn man dann die endliche Mächtigkeit von G in Betracht zieht würde man auch nur weiterkommen, wenn klar wäre das G somit zyklisch sein muss. Allerdings hat man ja mit der Kleinschen Vierergruppe schon eine endliche Gruppe gesehen die nichtzyklisch ist, also ist diese Annahme schonmal recht unangenehm. Wie man sonst mit der kommutativen Halbgruppe weitermacht ist mir nicht ganz klar.
Bei Aufgabe 29 erscheint es mir schon sehr komisch irgendwelche Funktionen von R+ → R+ (R+ mit oder ohne 0?) gehen zu lassen und dann aber auch inverse zu fordern. Soll man etwa aufgrund des Definitions- u Wertebereichs schon schließen können das bijektive Funktionen gemeint sind?
Aufgabe 30 gestaltet sich manchmal ein bisschen trickreich, aber nichtmal so schlimm.
Jetzt natürlich die Frage: ist jemand bei 27, 28, 29 auf Aspekte gestossen die die Ungereimtheiten aus dem Weg schaffen können?
Was mir zunächst aufgefallen ist: das Blatt ist schwer. Wobei ich mich frag, ob das daran liegt, dass die Aufgaben schwer sind (was ich nicht glaube), oder obs vielmehr daran liegt, dass für uns derartiges “Umgehen” und “Rechnen” mir Körpern etc. einfach neu und ungewohnt ist.
Fakt ist, bei mir stehen erstmal noch einige Fragezeichen. Womits auch net verkehrt wäre, wenn mal jemand anders nen Ergebnisvergleichthread aufmacht
Ich hab mir jetzt erstmal die 27 angeschaut:
a) Wie die Tafel aussehen muss kann man leicht im Inet nachschauen, aber wie seid ihr da drauf gekommen? Durch “rechnen”, oder durch argumentieren? Ich hab halt aufgestellt, was praktisch gegeben ist und den Rest durch argumentieren begründet ala ab kann werder e, noch a, noch b sein, woraus folgt, dass ab=c usw… Wie gesagt, ich find rechnen mit solchen Konstrukten noch sehr ungewohnt, ich denk da muss man reinkommen…
Hat jemand bei der 17a) ne rechnerische Lösung?
b) hm… also auch hier sind mir die Begrifflichkeiten und der Formalismus sowohl total neu, als auch noch sehr ungewohnt. Aber ich bin gar nicht bis zum Isomorphismus gekommen, bei mir ist die Abbildung nichtmal homomorph… Wobei ich nicht wirklich nen Plan hab, was ich mach
Alles in allem find ich das noch alles sehr ungewohnt und wirr.
Auf das oben gesagte gibts somit auch absolut keine Garantie
Und Kommentare sind erwünscht!
Bei der 27a) wäre es afaik ganz leicht aob=c, aoc=b, boc=a zu zeigen, wenn man wüsste das a^2=b^2=c^2=e (denn dann ist ja klar das a^-1=a, b^-1=b und c^-1=c ist). In der Angabe ist aber garnicht die Rede von c.
Bei der b ist wie gesagt wichtig das man sich mit Isomorphismen auskennt. Am besten mal das ThI-Skript an der entsprechenden Stelle durcharbeiten. Seite 22 ist hierbei auch sehr interessant.
28b,c ist bloss stures Einsetzen der Definition.
Bei der a gibts wie gesagt Ungereimtheiten.
29 ist mit der Forderung das die Funktionen bijektiv sein müssen, sehr einfach zu zeigen. Einfach mal alle Gruppeneigenschaften durchmachen. Vllt ein bisschen ungewohnt mit Funktionen, aber so schlimm ists dann doch nicht.
30 ist halt Induktion pur. Bei der a) gibts nen kleinen Trick: schaut euch mal ((1±√5)/2)^2 an.
Wenn ihr ernsthafte Schwierigkeiten mit den algebraischen Strukturen habt, am besten ThI-Skript nochmal durchgehen, da ist das recht schön gemacht. Die Literaturempfehlungen vom Pflaum sind übrigens Gold wert. :>
27b) Bedeutet isomorph nicht einfach homomorph + bijektiv? Und wie gesagt, bei mir ist das Teil nichtmal homomorph (unter Verwendung der Def. von Homomorphismus ausm Matheskript), womits schon per Def. nicht isomorph sein kann.
28: Meine Rede, b und c sind nur einsetzen. Bei der a) kann ich zwar assoz. und kommu. zeigen, aber die eindeutige Lösbarkeit ist bei mir nicht gegeben… Nimmt man einfach a^m * x = b^n mit m > n (!) dann exisitiert doch gar kein x = a^k?! Schließlich muss k ∈ N sein…?! Womit das weder ne abelsche Gruppe, noch ne Gruppe ist, sondern nur ne Halbgruppe…
Wo ist da der Denkfehler?
29: Aber Bijektivität ist doch gar nicht gegeben? Nimm die Funktion f(x) = (x-3)(x-3) für R+ → R+ und das Teil ist nicht bijektiv…
27b) du sollst ja auch zeigen das es nicht isomorph ist.
28: das ist ja genau das Problem was ich auch schon angesprochen habe
29: meine Rede. :>
Prechtel steh uns bei.
27b) Jaja, aber mich irritiert, dass die Fragestellung dann nicht gleich nur lautet “zeige, dass nicht homomorph ist”
Joa… melde dich mal, wenn du was genaueres weißt.
Ansonsten: Evtl. gibts ja welche, die von so nem Zeug schon mehr Ahnung haben.
27b) es ist halt viel leichter nen Widerspruch zu bekommen wenn du gleich annehmen kannst das es ein Isomorphismus ist.
Das sind effektiv nur 6 Zeilen bei mir. :>
27b) Da das nicht mal homomorph ist müsste ich aber doch auch einfach schreiben können: f(a*a)=f(e)=[0]≠[2]=[1]+[1]=f(a)+f(a) => f nicht homomorph => f nicht isomorph ?!
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Ich bin jetzt eigentlich still und heimlich davon ausgegangen, dass (,*) schon ein Gruppoid ist und hab deshalb solche Sachen wie neutrales/inverses Element gar nicht bewiesen, sondern nur die drei Eigenschaften für die abelsche Gruppe (was bis auf das bereits angesprochene Problem bei der eindeutigen Lösbarkeit eigentlich auch recht einfach ist).
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Hab dafür eigentlich keine Bijektivität gebraucht. Der Beweis für Assoziativität ist leicht (einfach mit der Definition spielen). Das die Lösung eindeutig ist geht auch, womit ich Momentan noch schwierigkeiten habe ist zu zeigen, dass überhaupt eine gültige Lösung existiert. Und die nicht-Kommutativität hab ich wieder mit einem Gegenbeispiel gezeigt…
Flow:
27b) hmhm… du setzt jetzt a=[1] bzw. bildest a auf [1] ab… Das ist meiner Meinung nach jedoch nicht zwangsläufig gegeben… Man hat halt jeweils 4 Elemente, wovon man schonmal eindeutig abbilden muss (Vorraussetzung von Homomorphimus). Aber Da gibts schon mehr wie nur eine Möglichlkeit, ich könnte ja f(a) auch auf [2] oder auf [3] oder auf [0] abbilden… Also ich denk das muss man schon beachten.
Der Nachweis, dass es nicht homomorph ist, der ist dann aber trotzdem realtiv analog zu dem, was du da gemacht hast.
Zumindest wenns denn so stimmt
28: Meine Rede, ich kümmer mich auch nicht um neutrales oder inverses Element. Ich mach auch nur die drei Eigenschaften mit dem Problem bei der Lösbarkeit…
29: Ich habs jetzt mal angeschaut und fand asso. auch leicht, einfach Def. Kommu. hab ich auch mit Gegenbeispiel
Und ja, ich hab da auch das Lösbarkeitsproblem…
Ja, stimmt schon, mit einem Gegenbeispiel ist es nicht getan. Aber die Belegung macht prinzipiell keinen Unterschied. Was den Homomorphismus verhindert ist im Endeffekt doch, dass die Diagonale der Operationstafel von (M,*) durchgehend mit e belegt ist, während die von (Z4,+) abwechselnd mit [0] und [2] belegt ist. So kann man also unabhängig von der Abbildungsvorschrift für mindestens zwei Elemente aus {e,a,b,c} diesen Widerspruch herbeiführen.
Exakt
So, nachdem das aktuelle Blatt ja wirklich nicht ganz trivial ist, werde ich Euch mal ein paar Anregungen geben. Wobei ich daraufhinweisen möchte, dass meine Ausführungen nur Denkanstöße sind ich keine Garantie auf Richtigkeit übernehme. Ich schreibe einfach mal, was ich mir zu den Aufgaben überlegt habe.
Aufgabe 27
a)
Nachdem ja sowieso schon der entsprechende Link oben stand, ist die Lösung der Multiplikationstafel ja kein Geheimnis mehr. Auf eine rechnerische Lösung bin ich auch nicht gekommen, aber man kann die Einträge durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:
Zuerst sollte man zeigen, dass ab=ba=c; ac=ca=b; bc=cb=a gilt.
Dazu ist es eine ganz gute Idee, zuerst anzunehmen, dass ab=a, ab=e oder ab=b gilt und diese drei Annahmen jeweils zum Widerspruch zu führen. Da die Gruppe ja abgeschlossen ist, muss also ab=c gelten und analog geht das auch für ba=c und für die anderen Felder der Tabelle.
Zuletzt kann man noch zeigen, dass auch c^2=e ist. Am besten wieder annehmen, dass c^2=c, c^2=b oder c^2=a gilt und jede dieser Aussagen zum Widerspruch führen. So wie ich es mir überlegt habe, kann man beispielsweise aus c^2=a folgern, dass c=b gilt und das darf ja nicht sein.
b)
Ein Isomorphismus zwischen zwei Gruppen ist ein bijektiver Homomorphismus zwischen den Gruppen, also insbesondere bijektiv und linear.
Sind also (G,) und (H,+) zwei endliche Gruppen und f ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, dann gilt:
f(g1g2) = f(g1)+f(g2).
Da ja in M a^2=b^2=c^2=e^2=e ist, gilt folglich auch
f(a^2)=f(b^2)=f(c^2)=f(e^2).
Wenn man die Existenz eines bijektiven Gruppenhomomorphismus voraussetzt und die Bijektivität von f und die Eigenschaften der Gruppe Z/4 benutzt, kann man gegen diese Aussage einen Widerspruch herleiten. Also existiert kein bijektiver Homomorphismus zwischen den beiden Gruppen und sie sind nicht isomorph.
@The Flow: Deine Argumentation setzt voraus, dass f(e)=[0] ist und f(a)=[1]. Die erste Aussage ist richtig (muss man aber auch erst beweisen), die zweite muss nicht zutreffen. Man kann die Argumentation aber ausbauen, wenn man die Bijektivität mit verwendet und dann O.B.d.A voraussetzen dass f(a)=[1] ist. Aber wie gesagt, da muss man schon vorher noch etwas argumentieren und auch noch zeigen, dass f(e)=[0] gilt.
@all: Achtung: es existiert sehr wohl ein Homomorphismus zwischen den beiden Gruppen, nämlich der, der alles auf das neutrale Element [0] abbildet. Aber es existiert eben kein bijektiver Homomorphismus, und das sollt ihr zeigen. Eigentlich könnt Ihr immer davon ausgehen, dass in der Angabe nie etwas überflüssiges steht und dass Ihr immer alles verwenden müsst, was dort steht.
Aufgabe 28
Kein Problem dürfte die Aussage sein, dass in G liegt. Da genügt ein kurzer Induktionsbeweis.
Am schwierigsten ist es, die Abgeschlossenheit der Gruppe zu zeigen. TheChip hat schon die Problematik erkannt. Denn es ist ja nicht von vornherein klar, dass beispielsweise a^n*a^n = a^r mit r<=n ist. Eine Möglichkeit das zu beweisen ist, die Existenz eines z > 1 ( mit z<=n) zu zeigen, für das gilt: a^z = e, wobei e das neutrale Element der Gruppe G ist. Hierzu ein kleiner Denkanstoß: wir betrachten die Sequenz a, a^2, a^3, …, a^n wobei wir annehmen können, dass a != e ist, denn dann ist die Aussage trivial erfüllt. Das sind ja dann n Elemente in G. Was wäre denn jetzt, wenn die alle verschieden sind? Und wie kann man argumentieren, wenn mindestens zwei davon gleich sind?
Wenn das geschafft ist, muss man noch argumentieren, warum die Existenz dieses z auch dafür sorgt, dass die Gruppe abgeschlossen ist. Und vergesst nicht auch die anderen Eigenschafen einer abelschen Gruppe nachzuweisen, insbesondere auch die Existenz eines neutralen Elements (aber ihr habt ja vorhin schon gezeigt, dass a^z = e ist, also habt ihr das schon, da ja in G enthalten ist) und des inversen Elements! Die Aufgaben b und c sind glaube ich kein Problem.
Aufgabe 29
Also ich bin auch der Meinung, dass sich in die Angabe ein Fehler eingeschlichen hat. Es funktioniert nur, wenn man Bijektivität der Funktionen voraussetzt. Falls das zutrifft, wird die Aufgabe aber vermutlich nicht korrigiert. Eigentlich schade, das würde ja dann heißen, dass die ersten beiden korrigiert werden, die deutlich schwerer waren. Die Vorlesungshomepage ist auch down, es gibt also auch kein verbessertes Blatt. Zeigt aber auf jeden Fall die anderen Gruppeneigenschaften und dass es nicht kommutativ ist.
Aufgabe 30
Naja, die is ja ganz machbar, wenn man das Prinzip der Induktion verstanden hat. Für die, die es interessiert: die Folge F(n+1)/F(n) konvergiert für n gegen Unendlich gegen den Goldenen Schnitt, deshalb lernt man ja auch in der Schule, dass der Goldene Schnitt (1+sqrt(5))/2 durch den Bruch 13/8 ganz gut genähert werden kann (= F(7)/F(6) ).
Also, ich hoffe ich konnte Euch etwas weiterhelfen und wünsche Euch noch gutes Gelingen und einen schönen Sonntag. Ach ja, ich würde mich übrigens sehr freuen, wenn sich noch mehr Zweiergruppen bilden würden bei der Abgabe
Thx Fabian fürs ausführliche Posting! (Auch wenn ich mir im anderen Thread nochmal ne Antwort gewunschen hätte :-D)
27a) Genau das hab ich doch oben auch schon angedeutet. Wobei ich mir jetzt schon wieder sicher bin, dass meine Argumentation nicht ausreichend ist… Ich brings zwar auch auf 3 Widersprüche, woraus ich dann folger, dass ab nur c sein kann, aber ich hab das Gefühl die Argumentation ist nicht ausreichend…
b) Danke! Deine Aussage (man kann ja auch 3 Sachen aufs gleiche abbilden, aber DA kommt Bijektivität ins Spiel) kombiniert mit dem, was wir schon hatten sollte das Komplettbild ergeben
28
Sehr wirr das Ganze…
29
Meine Rede. Muss das neutrale Element nicht zwangsläufig f(x)=x sein, woraus folgt, dass ein inverses dann die Umkehrfunktion sein müsste, die ja wiederrum nur bei Bijektivität existiert?
Und falls die Aufgabe dennoch gehen sollte, auch sehr wirr…
30
Irgendwie hab ich da nur bei a) induziert.
Aber die anderen 3 Aufgaben hab ich entweder VIEL zu unformal gelöst, oder die sind einfach einfach… b) ist doch nur Def von GGT ausrechnen kombiniert mit rekursiver Def von Fib Zahlen. Bei c) sind 2 Zeilen, halt auch einfach nur mit der rekursiven Def von Fib Zahlen rumspielen. Und d) hab ich praktisch so schon in Aufgabe b) stehen…
Alles in allem Danke für deine langen Bemerkungen! Und lasst bei der Korrektur mal ein bischen Gnade wallten
Schon, wenn man bedenkt, dass man evtl. wieder Zeit an ner Aufgabe verschenkt, nur weil die Aufgabenstellung falsch ist (mal für den Fall, dass bei 29 wirklich vergessen wurde Bijektivität als Vorraussetzung mit zu fordern)
Ich verstehe nicht so ganz warum bei der 28 die Abgeschlossenheit über ein grösstes Element zu führen ist (wieso muss dieses überhaupt zwangsläufig existieren wo doch ={a^k | k∈N} gilt? Soll man tatsächlich aus der Endlichkeit von G auf zyklische Gruppen schliessen? Und ist nicht a^n*a^n=a^(n+n) ∈ schon klar aufgrund der Abgeschlossenheit von N gegen Addition?
Also ich erkläre nochmal das Problem bei der 28 am Beispiel n=4. Stellen wir uns also vor, wir haben ein Element a aus G ausgewählt, dann ist also
={a,a^2,a^3,a^4}. Von dieser Menge möchte man jetzt zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt. Dazu muss Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung * gegeben sein. Wenn ich also beispielsweise a^2 * a^3=a^5 rechne, muss wieder ein Element aus der Menge rauskommen, also muss entweder gelten
a^5=a, a^5=a^2, a^5=a^3 oder a^5=a^4. Sicher weiß man, dass das Element a^5 in G liegt (wobei ihr das ja zeigen sollt, wie gesagt am besten per Induktion), aber man weiß eben nicht, dass es dann auch noch in liegt.
Bei Aufgabe 30b würde ich Euch auch dringend Induktion raten. Damit gehts in zwei Zeilen.
Aufgabe 30c ist auch ohne Induktion ein Einzeiler.
ich kotz gleich!
Erstmal danke bezügliche der Aufgabe 27a)
Ich hatte es nämlich nicht so: Bei mir war a*c = ac…
Aber ich wüsste jetzt nicht wie ich das erklären sollte…
:wand:
Ich glaube ich denke zu falsch.
:#:
Aber was ich jetzt nicht verstehe:
28…
warum soll, wenn ich n = 4 nehme, dies hier sein {a,a^2,a^3,a^4} ??
Da steht doch nur a^k … HILFE!
Ich raff überhaupt nichts mehr.
:wand: (ich bin gleichzeitig Wand und Smiley)
Hmmm… bist du damit quasi zyklisch?!
Ups, ich hab mir jetzt gerade die Aufgabe 28 nochmal durchgelesen und festgestellt, dass ich, als ich sie gelöst habe, die Angabe falsch abgeschrieben habe. Ich war von der Definition ={a^k; k≤n} ausgegangen, deshalb wollte ich auch die Abgeschlossenheit so umständlich zeigen. In der Aufgabenstellung steht aber ={a^k; k∈IN}. Damit ist es natürlich einfacher, zu zeigen, dass die Verknüpfung zweier Elemente wieder in liegt. Trotzdem war meine Lösung richtig, ich habe nur zu viel gezeigt. Im Endeffekt gilt sowieso {a^k; k≤n}={a^k; k∈IN}. Das müsst ihr natürlich nicht beweisen. Die Argumentation, die ich oben verwendet habe ist aber trotzdem relevant, insbesondere wenn man die Existenz des neutralen Elements zeigt.
Also nochmal zusammenfassend:
Das stimmt zwar, ihr müsst das aber nicht zeigen und könnt die Definition vom Blatt nehmen.
Ja
Also wie gesagt, tut mir Leid, wenn ich Euch etwas verwirrt habe durch meine Ausführungen zu dieser Aufgabe. Es wäre wohl besser gewesen, ich hätte gar nichts geschrieben, dann würde vielleicht jetzt weniger Verwirrung herrschen.
Eine Neuigkeit noch: ich habe soeben die Bestätigung bekommen, dass in der Aufgabe 29 die Bijektivität vorausgesetzt werden muss, wie wir schon vermutet hatten. Außerdem soll die 0 noch in den Definitions- und Wertebereich, also IR_0^+.
Gibts dazu jetz ein “verbessertes” Aufgabenblatt oder können wir davon ausgehen dass die Aufgabe 29 relativ sicher nicht bewertet wird?