Schachbrett als Modell erster Stufe
Disclaimer: Dieser Thread wurde aus dem alten Forum importiert. Daher werden eventuell nicht alle Formatierungen richtig angezeigt. Der ursprüngliche Thread beginnt im zweiten Post dieses Threads.
Blatt 10
Laut Aufgabenstellung umfasst das Modell fünf Prädikate. Darf man weitere selbstdefinierte Prädikate in das Modell mitaufnehmen?
Um beispielsweise das vor-Prädikat zu beschreiben, möchte ich auf die Position der Figur zugreifen. Für die Position hätte ich ein Prädikat erstellt, das eben die Position der Figur bestimmt.
Das klingt aber eher so, als wäre die Position eine Funktion, kein Prädikat. Und da die Semantik eines n-stelligen Prädikates eine Teilmenge der Menge aller n-Tupel über der Grundmenge (mit anderen Worten M^n) ist, kann man einfach diese Menge mal hinschreiben …
Heißt das, ich kann mir diese Hilfsfunktion sparen und darf einfach als Position ein Tupel hinschreiben?
Was genau verstehst du unter Position? Sowas wie a8? Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wozu du die brauchen solltest … Aber man könnte bestimmt ein Modell bauen, was die berücksichtigt.
Genau, unter der Position verstehe ich die Zeilen und Spaltennummer/-buchstabe einer Figur.
Anders gefragt: Wie soll man die Uneindeutigkeit in der Argumentfolge der Prädikate auflösen?
Ich dachte, vor(X, Y) solle man dann so definieren, dass X eine höhere Zeilennummer als Y hat…
Oke, mittlerweile glaube ich verstanden zu haben, dass keine axiomatische Definition der Prädikate gefragt ist, sondern sozusagen alle Möglichkeiten hingeschrieben werden sollen, für welche “Parameter” die jeweiligen Prädikate auf diesem konkreten Schachbrett zutreffen.
Noch zwei Fragen zum Auflösen bei den Behauptungen: Löst man den Existenzquantor genauso auf wie den Allquantor aus der Präsenzaufgabe?
Wenn man sowas dastehen hat wie
( M[[praedikat1]](X, Y) ^ M[[praedikat2]](Z, Y) )[X -> a, Y -> b, Z -> c]
und die Prädikate nicht X + Y bedeuten wie in der ersten Präsenzaufgabe, ist die nächste Umformung
M[[praedikat1]](a, b) ^ M[[praedikat2]](c, b)
und geht es noch weiter? Was haben wir dann gewonnen, außer die Variablen umbenannt zu haben?
[quote=BTL]
Oke, mittlerweile glaube ich verstanden zu haben, dass keine axiomatische Definition der Prädikate gefragt ist, sondern sozusagen alle Möglichkeiten hingeschrieben werden sollen, für welche „Parameter“ die jeweiligen Prädikate auf diesem konkreten Schachbrett zutreffen.
[/quote]Es soll halt zu den Prädikaten P soll ???⟦P⟧ hingeschrieben werden, was ja eine Menge von Tupeln ist.
Naja, du nicht ganz genauso. Denn ∀ und ∃ sind ja was verschiedenes. Aber du kannst ja ∃X.φ mithilfe von ∀ ausdrücken 
[quote]
Wenn man sowas dastehen hat wie
( M[[praedikat1]](X, Y) ^ M[[praedikat2]](Z, Y) )[X -> a, Y -> b, Z -> c]
und die Prädikate nicht X + Y bedeuten wie in der ersten Präsenzaufgabe, ist die nächste Umformung
M[[praedikat1]](a, b) ^ M[[praedikat2]](c, b)
und geht es noch weiter? Was haben wir dann gewonnen, außer die Variablen umbenannt zu haben?
[/quote]Ich glaube, du musst dir über einige Sachen erstmal klarwerden: den Unterschied zwischen Prädikaten und Funktionen und den Unterschied zwischen Variablen und Konstanten (also nullstelligen Funktionen); und evtl. den Unterschied zwischen Termen und Formeln.
Dann kann ich dir wahrscheinlich auch weiterhelfen, im Moment ist mir gerade nicht so ganz klar, was deine Frage ist
[quote=MalteM]
Es soll halt zu den Prädikaten P soll ???⟦P⟧ hingeschrieben werden, was ja eine Menge von Tupeln ist.
[/quote]Gut.
[quote=MalteM]
Aber du kannst ja ∃X.φ mithilfe von ∀ ausdrücken ;)[/quote]Kingt logisch 
[quote=MalteM]
Ich glaube, du musst dir über einige Sachen erstmal klarwerden: den Unterschied zwischen Prädikaten und Funktionen und den Unterschied zwischen Variablen und Konstanten (also nullstelligen Funktionen); und evtl. den Unterschied zwischen Termen und Formeln.[/quote]
Lass es mich mal versuchen:
Prädikate bilden auf {true, false} ab, Funktionen auf einen Wertebereich (= die Trägermenge des Modells?).
Prädikate und Funktionen haben eine Stelligkeigkeit (= Anzahl der Parameter). Eine nullstellige Funktion heißt Konstante, ein nullstelliges Prädikatensymbol entspricht einem Atom in der Aussagenlogik. Prädikate werden kleingeschrieben, Funktionen groß.
Kannst du mir erklären, ob diese Umformung korrekt ist und was wir hier genau machen?
( M[[praedikat1]](X, Y) ^ M[[praedikat2]](Z, Y) )[X -> a, Y -> b, Z -> c]
M[[praedikat1]](a, b) ^ M[[praedikat2]](c, b)Bisher glaube ich, dass durch diese Semantikklammern [[ ]] den Prädikaten ihre Bedeutung im Modell M zugewiesen wird. Sind X, Y, Z Variablen/0-stellige Funktionen? Ersetzen wir hier X, Y, Z durch Konstanten, die zur Trägermenge gehören?
Ja, so kann man es sehen. Tatsächlich ist die Interpretation eines n-stelligen Prädikats P (also ???⟦P⟧) aber keine Funktion von Mⁿ nach {⊤,⊥}, sondern eine Teilmenge von Mⁿ; wie man sich aber leicht klar machen kann, ist das fast das gleiche (⊤ für „ist in der Teilmenge enthalten“, ⊥ für „ist nicht enthalten“)
Zur Groß- und Kleinschreibung: das ist Geschmackssache und hängt auch ein bisschen vom Zusammenhang ab, glaub ich. Im Skript heißen Funktionen oft f und Prädikate P (und Atome A), aber auf dem Übungsblatt gibts ein Prädikat linksVon etc. Eine Konstante kann man auf jeden Fall als nullstellige Funktion sehen, ja (mit anderen Worten einer Funktion M⁰→Mⁿ, wobei M⁰={()} ist, also einfach die Menge, die das leere Tupel enthält; dieses wird von der Funktion auf den konstanten Wert in Mⁿ abgebildet).
Aber ob man in gleicher Weise Atome und nullstellige Prädikate als gleich ansehen kann, bin ich mir gerade ehrlich gesagt nicht ganz sicher; ich denke aber schon [habs gerade im Skript nachgeschaut, da stehts so, ja, also weiter im Text, falls es dich interessiert, wie ich mir das erkläre, ansonsten kannst du den Rest dieses Absatzes ignorieren ]. Wie kann man nun sagen, ob ein Atom erfüllt ist? Naja, ???,η⊨A bzw. wenn man die Klammern für die Argumente mal nicht weglässt ???,η⊨A() hieße ja nach Definition 61 im Skript (Seite 36), dass ()∈???⟦A⟧. Mit anderen Worten, für ???⟦A⟧={()} bedeutet, dass das Modell das Atom erfüllt, ???⟦A⟧={}, dass es das Atom nicht erfüllt (???⟦A⟧ muss ja Teilmenge von M⁰={()} sein)
Ja, die Semantikklammern weisen einem Prädikat seine Bedeutung/Interpretation/Semantik im Modell zu. X, Y, Z sind Variablen, ja. Das ist aber was anderes als 0-stellige Funktionen (das wären ja Konstanten). Eine Variable aus der Menge der Variablen V hat keine Semantik im Modell, sondern ist quasi ein „Platzhalter“, dem durch eine Umgebung η: V→M ein Wert im Grundbereich/Universum/Trägermenge M zugewiesen wird. In diesem Fall ist die Umgebung explizit angegeben als [X↦a, Y↦b, Z↦c], wobei a, b, c jetzt Werte in M sind (keine Konstanten im Sinne von Funktionssymbolen, dann müsste man ja ???⟦a⟧ etc. schreiben, um an diese Werte zu kommen!).
Allerdings scheinen das, was ihr da praedikat1 und praedikat2 nennt, tatsächlich keine Prädikate, sondern Funktionen zu sein, so wie ihr ???⟦–⟧ und die Umgebung drauf anwendet. Andererseits wären praedikat1(a,b) dann ja Terme und keine Formeln, also könnt ihr die nicht ver-und-en. Was ihr also dastehen habt, ergibt so erstmal keinen Sinn. Meintet ihr vielleicht doch Prädikate und wolltet vielleicht eigentlich folgendes schreiben?:
???,η[X↦a, Y↦b, Z↦c] ⊨ praedikat1(X,Y)∧praedikat2(Z,Y)
Das würde man umformen zu
???,η[X↦a, Y↦b, Z↦c] ⊨ praedikat1(X,Y) und ???,η[X↦a, Y↦b, Z↦c] ⊨ praedikat2(Z,Y)
Darauf könnte man dann die zweite Regel der Definition 61 anwenden usw.
Ich hoffe, das hilft erstmal, sonst frag einfach nochmal nach.
Ich glaub da ist mir ein Licht aufgegangen. 
Danke dir schonmal!
Wird der linke Teil dann schrittweise zu folgendem?
( ???[]η[X↦a, Y↦b, Z↦c] , ???[[Y]]η[X↦a, Y↦b, Z↦c] ) ∈ ???[[praedikat1]]
( η(X)[X↦a, Y↦b, Z↦c] , η(Y)[X↦a, Y↦b, Z↦c]) ∈ ???[[praedikat1]]
( a , b) ∈ ???[[praedikat1]]
Fast: η[X↦a, Y↦b, Z↦c] ist die Umgebung. Das ist keine Konkatenation von zwei Substitutionen (auch, wenn die Notation das so aussehen lassen könnte), sondern eine (einzige) Funktion. ηX↦a, Y↦b, Z↦c=a, ηX↦a, Y↦b, Z↦c=b, ηX↦a, Y↦b, Z↦c=c und für Variablen W, die nicht in {X,Y,Z} liegen, ηX↦a, Y↦b, Z↦c=η(W).
Es muss also in der vorletzten Zeile (ηX↦a, Y↦b, Z↦c, ηX↦a, Y↦b, Z↦c) ∈ ???⟦praedikat1⟧ heißen.
Der Unterschied zwischen einer Funktion η : V → M und einer Substitution ist, dass η jeder Variablen in der Variablenmenge V einen Wert in M zuweist. Eine Substitution ersetzt nur manche Variablen durch Terme.