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Blatt 4, Aufgabe 17
Irgendwie hab ich Schwierigkeiten das Schmidt-Verfahren auf die Polynome anzuwenden. Das läuft doch so:
Ich hab u1=1, u2=x, u3=x^2, u4=x^3. Dann berechne ich w1=u1=1.
Und für v1 dann v1=w1 / ||w1||. Aber was ist die Norm von w1? 1? Oder √1? Oder was ganz anderes? :wand: :wand:
Es wäre echt toll wenn man in der Vorlesung nicht immer nur die hälft von dem erzählt bekommen würde, was man für’s Übungsblatt braucht :motz: :#:
Wäre für jeden Hinweis dankbar!
Gruß
Flo
Denk mal wieder die Wuryel von dem Integral. Habs aber selber noch nicht gemacht…
Also wäre ||w1|| dann √∫1dx = √[x] = √(1-(-1)) = √2? Dann bekäme mann für v1 = 1 / √2. Das werden dann aber nicht diese Legendre-Polynome?! :-/
Man kann garnicht auf die Legendre Polynome kommen weil die
nicht normiert sind und nicht senkrecht aufeinander stehen,
also auch keine ONB sind.
Hab mir gerade Aufgabe 17 angesehen.
Folgendes:
Soweit ich das verstehe erhält man als Ergebnis durchaus die Legendre Polynome, allerdings mit einem jeweiligen zusätzlichen Faktor.
Warum? Die Legendre Polynome ist zwar so definiert, dass die einzelnen Basisvektoren/Polynome aufeinander senkrecht stehen (in dem Punkt muss ich andy also widersprechen), jedoch haben diese nicht die Länge 1. In der Aufgabe ist aber nach einer ONB, also einer Basis gefragt, die sowohl orthogonal, als auch normiert ist. Und wenn ich jetzt stur das GS Verfahren anwende komm ich auf folgende Vektoren:
1/√2 , √(3/2)x , √(45/8)(x²-1/3) , √(175/8)(x³-3/5x)
Ich war zu faul alles nachzuprüfen, aber mit bischen genau hingucken und ein paar Kombinationen nachrechnen sollte jeder der 4 Vektoren da oben auf die jeweils anderen orthogonal stehen (das Skalarprodukt liefert 0) und ein jeder Vektor die Länge 1 besitzen (das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst liefert 1)
Sobald ich mit Aufgabe 17 soweit fertig bin, werd ich die Ergebnisse in den parallelen Thread eintragen.
Was meint ihr? Kommentare?
Ich hoffe das hilft.
Kleine Frage, wie versteht ihr die 17b)? Soll ich das Polynom als Linearkombination dieser Orthonormalbasisvektoren darstellen, oder nur als Linearkombination der einfachen Basisvektoren (1,x,x²,x³) ? Ich geh mal schwer davon aus als Linearkombination der ONB-Vektoren?
Flo
Für x³+1 als Linearkombination aus den ONB-Vektoren hab ich jetzt:
x³+1 = √2 * v1 + √(6/25) * v2 + 0 * v3 + √(8/175) * v4
Die Ergebnisse hab ich auch.
Hast du wirklich rausgekriegt, dass die Legendre Teile alle senkrecht aufeinander stehen? Hab eigentlich das auch ein paar Mal gerechnet. <L_0, L_2> ist bei mir zum Beispiel ≠0.
Mit welchem Faktor entsprechen denn die Legendre Teile der Lsg?
http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre_Polynom
„Die Legendre-Polynome sind spezielle reelle Polynome, die ein orthogonales Funktionensystem bilden.“
http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre_Polynom#Die_ersten_Legendre-Polynome
Da kann man ganz nett erkennen, dass Unterschiede nur Faktoren sind. Bei P0 halt 1/√2, bei P1 √(3/2) usw.
Aber nachgerechnet hab ich nix, Faktoren sind „augenmaß“ und orthogonal, weils halt so definiert scheint. In diesem Sinne… aber solang wir gleiche Ergebnisse haben 
Achso jetzt weiß ich warum: ich hab die erst normiert und dann Orthogonalität überprüft. ^^
Und wenn das tatsächlich so gedacht war das die jeweiligen Faktoren, die unsere Lösungen ergeben würden, von n abhängen, ist das schon relativ krass das sie schreiben “man erhält”.
Meine Rede, finds auch sehr bescheuert den “Hinweis” mit dem “man erhält”.
Also ja, schon, man erhält, aber halt nicht so.
Sehr unglücklich formuliert.
heyhey,
mir ist die aufgabe nicht ganz klar… Es ist ein Vektorraum - was wollen dann die polynome darin? Und welche Komponenten haben die dann? und zu guterletzt: wieso ist die Norm des 1. Polynoms(w1=u1=1) die wurzel von dem Integral? Woraus folgt das?
Ich wäre euch sehr verbunden wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
EDIT: Ach lol, ich hab grad das script gelesen… is ja alles erklärt(duh!)
a)
Zur Lösung der a):
also 1/√2 , √(3/2)x hab ich auch noch,
allerdings hab ich dann für v3=x^2 * √(5/2)
w3 ist bei mir nämlich x^2 , da das Integral von x^3*√(3/2) von -1 bis 1 =0.
Dann ist v3 = x^2 / √∫(x^4) = x^2 / √[1/5 * x^5](von -1…1) = x^2/√(2/5) = x^2 * √(5/2) !!?
U.A.w.g. 
ja genau das selbe problem hab ich auch … bei der bildung der w … wird das was man abzieht immer 0 … also ∫u*v dx … und hab dann auch √(5/2)x²… wo liegt der fehler??
beziehungsweise: wieso benötigt man den hinweis überhaupt … das skalarprodukt is doch mit ∫(p*q)dx gegeben … des gibt doch dann immer ganz einfache integrale der form ∫(x^n)dx … oder was mach ich falsch ?
@M4nu: Mein w3 ist schon x²-1/3
Deswegen gibts im Skalarprodukt auch Sachen wie ∫(ax^n + bx^m + c)dx oder ähnliches, weil du dann halt mal Terme ala (x²-1/3) qadrierst (@bRownY)
jaja aber woher der x²-1/3 term ^^ … das wäre viel wichtiger … aber egal etz eh weng spät dafür