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CG: Assignment 1, Teilaufgabe c
Hab ein Verständnisproblem bei Teilaufgabe c vom Assignment 1. Ich versteh es, wie man von Parameterdarstellung in implizite Darstellung kommt im 2D, indem man nach t auflöst. Allerdings krieg ich das im 3D nicht richtig hin.
Und von impliziter Darstellung in die Parameterdarstellung fehlt mir auch der Ansatz…
Ohne das Aufgabenblatt zu kennen:
Implizit 3D → Parameter:
z.B. f(x, y, z) = x² + y² - z - 9 = 0 (also ein Paraboloid, ich hoffe, dass nicht zufällig genau sowas auf dem Blatt steht…)
Das kannst du da bspw. z auflösen: z = 9 - x² - y², für x und y nimmst du jeweils einen Parameter, bspw. x = s, y = t, dann kommt insgesamt raus:
S(s, t) = (s, t, 9 - s² - t²)
(gibt aber beliebig viele Parametrisierungen)
Parameter → Implizit 3D:
Das kommt erst mal drauf an, wie viel Parameter du hast. Wenn du nur einen Parameter hast, ist es eine Kurve, die man nicht ohne Weiteres (also vlt irgendwelche wilden Spezialfälle mal ausgenommen, wobei mir da grad auch nichts einfallen würde…) im R³ implizit darstellen kann.
Wenn du zwei Parameter hast, ist das irgendeine Fläche, die man implizit darstellen können sollte.
z.B. S(s, t) = (s + t, s + 2t, s - t) (eine Ebene durch den Ursprung).
Man kann das jetzt bspw so machen, dass man das Gleichungssystem
x = s + t
y = s + 2t
z = s - t
nach s und t auflöst und dann in x = s + t einsetzt, dann kriegt man eine parameterfreie Darstellung (nicht eindeutig):
3x - 2y + z = 0.
Bei Ebenen kann man das Prozedere auch einfacher machen, indem den Normalenvektor der Ebene aus (1, 1, 1) und (1, 2, -1) bestimmt, der ist dann hier n = (-3, 2, 1). Und dann setzt man das in die allgemeine Ebenengleichung <n, X - A> = 0 ein, wobei A ein beliebiger Punkt der Ebene ist und X = (x, y, z).
Der beschriebene Weg funktioniert aber eben auch für allgemeine Funktionen (nicht nur lineare), sofern die sich auflösen lassen 