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Faltung - Klausur WS14 - Aufgabe 9c
Weiß jemand, wie diese Aufgabe geht? (Aufgabe auch im Anhang dieses Beitrags als Bild)
Für eine Lösung wäre ich sehr dankbar
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2015-07-17 20_14_01-KlausurWS14.pdf.png: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_141622/2015-07-17 20_14_01-KlausurWS14.pdf.png
Teil den unteren Graph in zwei rechtecke auf und berechne jeweils einzeln das faltungsintegral dann addiere am ende beide.
Grenzen für die 2 Teil Faltungen einfach startwerte vonm oberen rechteck + startwerte von jeweils eines der unteren
Endwerte analog. Warum gibt es eine konstantes Plateu? Weil man das obere recheck jeweils durchschiebt und wenn es ganz im anderen rechteck drin steckt, dann ändert sich so lange der wert nicht . Achja der wert der amplitude für die faltung von zwei rechtecken = amplitude recheck 1 * amplitude rechteck 2 * maximale breite also wenn das eine komplett im anderen steckt.
Noch ein Tipp… der untere graph besteht aus zwei identischen Rechtecken nur das eine ist an der x achse gespiegelt und um
0,5 nach rechts geschoben → man muss nur ein faltungsintegral lösen und dann kann man das erste auch um 1 nach rechts verschieben
und nach unten klappen 
Das ist aber die graphische Lösung - ich dachte wir sollen das irgendwie mit dem Integral lösen.
h3(x) = 1 falls |x| <= 2
0 sonst
h4(x) = 1/2 falls 1 <= x <= 3
0 sonstDie Faltung ist definiert als (h3 ∗ h4)(x) = ∫ h3(t) h4(x-t) dt integriert von -∞ bis +∞.
Dann schaut man sich die Grenzen der beiden Funktionen an.
-2 <= t <= 2
1 <= x - t <= 3Die Grenzen von h4(x-t) lassen sich umschreiben zu
x - 3 <= t <= x - 1Das interessante Intervall ist nun das, wo wir innerhalb der Grenzen beider Funktionen liegen. Wären wir außerhalb der Grenzen einer Funktion, ist der Wert dieser Funktion ja 0 und damit das ganze Integral 0. Wir schauen also
Untergrenze: max(-2, x - 1)
Obergrenze: min(2, x - 3)Die Eindringphase beginnt also, wenn -2 = x - 1 gilt. Die Austrittsphase endet mit 2 = x - 3.
Daraus ergibt sich dann die Fallunterscheidung
h3(x) ∗ h4(x) =
(Keine Überlappung) x <= -1: 0
(Eindringphase) -1 < x <= 1: ∫ (von -2 bis (x-1)) 1/2 dt = [1/2 t] (mit Obergrenze (x-1) und Untergrenze -2) = 1/2 (x+1)
(Vollständige Überlappung) 1 < x <= 3: 1
(Austrittsphase) 3 < x <= 5: ∫ (von (x-3) bis 2) 1/2 dt = [1/2 t] (mit Obergrenze 2 und Untergrenze (x-3)) = 1/2 (5-x)
(Keine Überlappung) x > 5: 0Edit: Tippfehler korrigiert, Schreibweise vereinheitlicht.
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Irgendwie ist mir das noch nicht ganz klar. Wenn ich das grafisch bestimme bekomme ich andere werte - siehe Anhang.
Dabei ist die Faltung in “rot” eingetragen
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2015-07-18 11_04_07-GeoGebra (2).png: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_141629/2015-07-18 11_04_07-GeoGebra (2).png
h4(x) ist auch falsch soweit ich das sehe.
h4(x) = ½ falls 1 <= x <= 3
0 sonstdann müsste es stimmen.
Danke, das ist ein Tippfehler. Unter dem Integral steht es ja richtig mit 1/2.
wie kommst du bitte auf diese Umformung? Also mit welchen Rechenschritten >.<
t-3 <= x <= t-1
Danke für’s aufmerksame Lesen. Es hätte 1 <= t - x <= 3 vor der Umformung heißen müssen. Das t-x geht aus der Definition der Faltung als (h3 ∗ h4)(t) = ∫ h3(x) h4(t-x) dx hervor und bedeutet graphisch gesehen die Spiegelung einer Funktion an der y-Achse.
Die beiden Fehler habe ich in obigem Beitrag korrigiert und die Schreibweise vereinheitlicht. An der Lösung hat sich allerdings nichts geändert.
ok. danke… ich war schon vollkommen verwirrt 
nochmal ne bloede frage. aber wenn ich mal -1 mache muesste sich doch das ungleichheitszeichen umdrehen >.<
Ja, das Ungleichheitszeichen dreht sich um.
Schritt 1: - x
1 - x <= -t <= 3 - xSchritt 2: * (-1)
x - 1 >= t >= x - 3Schritt 3: Von hinten lesen
Vielleicht hat es dich irritiert, dass ich die Schreibweise in meinem ersten Post vereinheitlich habe?
lol, wer lesen kann ist klar im vorteil.
ich hab bei mir versehentlich die umgeformte gleichung nicht auch korrigiert und war daher verwirrt.
Danke vielmals. Das beruhigt mich gerade ungemein und erklärt so vieles
Woher weiss ich jetzt, dass ich bei 1 und 3 auch Fallunterscheidungen machen muss? Lese ich das hier irgendwo ab wie -1 und 5, oder muss ich da einfach nachdenken?
Das einfachste ist imho nachdenken. Da die Faltung kommutativ ist (f ∗ g = g ∗ f), kann man sich ja ausuchen, welche Funktion man graphisch gesehen stehen lässt und welche man schiebt. In allen Aufgaben, die mir bisher in der Uni über den Weg gelaufen sind, gab es immer den Fall der vollständigen Überlappung, also dass der Flächeninhalt der einen Funktion mit der x-Achse komplett unter oder auf dem der anderen Funktion lag. Das mag vielleicht nicht immer so sein, aber vielleicht hilft es dir zum Verständnis.
Dann kann man sich überlegen, wie lange es vom Eintrittspunkt dauert, bis sich die Funktionen vollständig überlappen. Das Gleiche geht natürlich auch rückwärts, wie lange es dauert, dass die geschobene Funktion vollständig ausgetreten ist. Hier ist das ja sehr leicht zu sehen: h4 beginnt bei -1 einzutreten und ist 2 Einheiten breit, daher überlappen sich die beiden Funktionen ab Zeitpunkt 1. Zum Zeitpunkt 5 ist h4 gerade komplett ausgetreten, also haben sich die Funktionen bis 5-2 = 3 vollständig überlappt.
OK, danke 
Ich hoffe allerdings, dass ich dieses Wissen nicht so bald wieder benoetigen werde…