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Fitch und Logik erster Stufe / Trinkerparadoxon
Hallo Leute,
ich versuche immernoch das Trinkerparadoxon zu verstehen…
Aufgabenstellung aus der Probeklausur ist ja “…die formale Herleitung mittels natürlicher Deduktion”.
Im Anhang habe ich mal versucht das Paradoxon zu lösen, da mir die alte Lösung aus dem Forum irgendwie unrealistisch lange vorkommt… Darf man sowas wie ich in dem Anahang gemacht hab machen? Fehlen irgendwelche Annahmen? Wenn ja, warum? Wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
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IMG_0375.JPG: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_129427/IMG_0375.JPG
Probeklausur 2012 A5)
Anbei ist zu sehen wie wir das damals gelöst hatten.
Ich kann nachher nochmal drüber schaun, ob deins auch stimmt.
btw: es kann durchaus sinnvoll sein, wenn man eine Frage hat auch die entsprechende Aufgabenstellung zu verlinken oder zumindest zu nennen um welche Probeklausur es geht.
Edit: hatte das etwas doof nummeriert, jetzt auch die ganze Lösung im Anhang.
Edit2: das war glaube ich die Aufgabe, bei der ein Denkfehler beim Aufgabenersteller vorlag. Da ging es nur auf den ersten Blick simpel, allerdings fehlte noch eine Sache, die den ganzen Beweis so länglich gestaltete.
In der Klausur selbst war die Deduktion deutlich küzer.
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Probeklausur SS2012 - 5).pdf: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_129428/Probeklausur SS2012 - 5).pdf
Du hast da leider nen ganz üblen Klammerfehler gemacht:
(∀X.p(X))→∀Y.p(Y) ist was anderes als ∀X.(p(X)→∀Y.p(Y)). Und auch (∃X.p(X))→∀Y.p(Y) was anderes als ∃X.(p(X)→∀Y.p(Y)). Bloß leider hast du ∀X.p(X)→∀Y.p(Y) bzw. ∃X.p(X)→∀Y.p(Y) jeweils einmal so und einmal anders geklammert interpretiert …
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Das mit den Klammern ist mir gar nicht aufgefallen… 
Werd mich dann nochmal dran versuchen.
Was mir aber noch nicht so klar ist, warum muss man gerade zeigen, dass:
∀X.p(X)∨¬∀Xp(X)das Paradoxon
∃X.(p(X)→∀Y.p(Y))erfüllt.
Reicht es nicht, wenn ich das Paradoxon aus einer beliebigen leeren Annahme heraus über einen Unterbeweis herleite? Warum muss man hier eine Fallunterscheidung machen? :\
Du kannst es auch ohne Annahmen zeigen, dann wird es durch ∀X.p(X)∨¬∀X.p(X) erst recht erfüllt. Bloß macht diese Fallunterscheidung es etwas einfacher (es ist sozusagen vorgegeben, dass du diesen Teil des Beweises nicht selbst zeigen musst).
Das Paradoxon lautet ja:
∃X.(p(X)→∀Y.p(Y))Per Beweis durch Fallunterscheidung gilt vereinfacht in der Klammer:
p(X)→∀Y.p(Y)wenn ich beweise, dass sowohl p(X) als auch -p(X) das ∀Y.p(Y) implizieren.
Der Beweis durch Fallunterscheidung besagt, dass ich um eine Formel phi zu beweisen ein psi finden muss, für das sowohl psi als auch nicht psi das phi implizieren.
Warum muss man in der Annahme gerade
∀X.p(X) v -∀X.p(X) annehmen? Was ich noch nicht verstehe, warum gerade dieser Ausdruck für die Fallunterscheidung hergenommen wird.
D.h. “Eine” formale Herleitung basiert auf unseren eingeführten Annahmen, dass ich die Formel entweder aus der leeren Annahme herleiten kann doer per Fallunterscheidung?
Wann “muss” dann eine Formel aus der leeren Annahme hergeleitet werden?