Klausur WS10/11

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Klausur WS10/11
Klausur-Angabe

Frage zur Aufgabe 1b):
E[X] = 13/12
E[exp(3X)] = …?
Also mein Bauchgefühl sagt mir ja, dass Y=exp(3X) keine gültige Dichte hat… Ich hab’s auch mal ausgerechnet und dann sieht man ja, dass das Integral über die Dichte von Y, also fY(y), nicht konvergiert. Also existiert E[exp(3X)] nicht.
Aber, woran erkenne ich denn sofort, dass Y=exp(t X) mit t>0 keine gültige Verteilung hat? Das muß ja in der Klausur irgendwie schneller gehen, als sich erst die Dichte her zu leiten und diese dann integrieren zu müssen …? :-/


Also mal ganz allgemein:

Wenn f(x) die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, dann ist
E[g(x)] = Integral g(x)f(x) dx (über ganz R).

D.h. du musst das Integral (exp(3x)f(x)) über ganz R berechnen.
Ob das Integral existiert, kann ich jetzt ausm Stegreif nicht sagen.

g(x) muss allgemein keine Dichte sein, denn für g(x) = x entsteht der “normale” Erwartungswert E[X] und der ist ja wohldefiniert, obwohl g(x) = x über R keine Wahrscheinlichkeitsdichte sein kann :wink:


Ok, danke, ich glaub’ jetzt hab ich’s gerafft. Auf Folie 12.18 der VL steht es nochmal zusammengefasst
Wenn Y = g(X) ist. Also Y ist die Zufallsvariable die durch die Abbildung g der Zufallsvariablen X definiert ist.

Man kann entweder die Diche von g(y) bestimmen (falls diese existiert). Dann ist
E[Y] = Integral y g(y) dy
Wobei man dabei die Integrationsgrenzen bestimmen muß!

Oder
E[Y] = E[g(X)] = Integral g(x) f(x) dx

Konkret bei dieser Aufgabe bietet sich die zweite Variante an. Ich habe für f(x) = exp(-2x+2) für 1 <= x.
Dann ist
E[exp(3X)] =
Integral exp(3x) f(x) dx (über R) >=
Integral exp(3x) exp(-2+2) dx (1<= x < inf) =
exp(2) Integral exp(x) dx (1 <= x < inf)
und das existiert nicht (“= inf”).


Was bzw. wo ist denn Folie 12.18?