Komplexe Zahlen Klausur 2011/10/8

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Komplexe Zahlen Klausur 2011/10/8
Hi,
hat jemand die Aufgabe 2 von der Klausur gemacht und kann mir verraten,
wie ich bei der c) vorgehen muss?
Der Hinweis bringt mich ehrlich gesagt auch nicht weiter.


Für alle natürliche Zahlen n bis auf 1 und für alle komplexe Zahlen z muss die Gleichung z^n=|z| erfüllt sein. Dann muss aber auch die Gleichung z^2=|z| gelten. Damit gilt aber z^4=|z|^2, es muss aber auch z^4=|z| gelten. Somit wissen wir, dass wegen |z|=|z|^2 der Betrag von z entweder 1 oder 0 sein soll.

Wir betrachten zunächst den Fall |z|=1. Das ist dann der Fall, wenn z=1, z=-1 oder z eine nicht reelle Zahl ist. z=-1 kann die Gleichung z^n=|z| nicht lösen, da sonst zum Beispiel für n=3 die Gleichung -1=1 dasteht. Ist z eine nicht reelle Zahl mit Betrag 1 und gilt die Gleichung z^m=|z| für irgendeine natürliche Zahl m, dann ist z^m=1. Aber dann ist z^(m+1)=z^mz=1z=z und da z eine nicht reelle Zahl ist, wird die Gleichung z^n=|z| für alle natürlichen Zahlen n verletzt. Somit kann für den Fall |z|=1 nur z=1 gelten.

Im Fall |z|=0 ist z=0 nach der Definition des Betrags. Jetzt wissen wir, dass außer 1 und 0 keine komplexen Zahlen die Gleichung erfüllen können. Wir müssen aber noch prüfen, ob beide Zahlen die Gleichung erfüllen. Die Lösungsmenge hängt davon ab, wie ihr in der Vorlesung die Menge der natürlichen Zahlen definiert habt, also ob die 0 zu den natürlichen Zahlen dazugehört (algebraische Definition) oder nicht (analytische Definition).

Gehört 0 nicht dazu, so erfüllen trivialerweise 1 und 0 die Gleichung z^n=|z| für alle natürliche Zahlen n. Gehört 0 dazu, so erfüllt z=1 die Gleichung, bei z=0 gibt es aber das Problem mit 0^0=1 (das ist aber auch eine Definitionssache) und |0|=0.


also ich hab das so:

z^n = |z|

|z| = sqrt(a² + b²)

arg z = 0

=> nrt(a² + b²) ( cos 0 + i sin 0) = nrt(a² + b²)


[quote=[hedgehogs dilemma = 42]]
also ich hab das so:

z^n = |z|

|z| = sqrt(a² + b²)

arg z = 0

=> nrt(a² + b²) ( cos 0 + i sin 0) = nrt(a² + b²)
[/quote]

Du hast bei der Phase das hoch-n vergessen:
n * arg z = k * 360
arg z = k * 360 / n
Dafür gibt’s n Lösungen für k=0 bis n-1, ab k=n wiederholen sich die Winkel und fangen wieder bei 360° = 0° an.

Entsprechend hast du immer n Lösungen:

nrt(a² + b²) ( cos k/n2pi + i sin k/n2pi) wobei k = 0…n-1

Z.B. für |z|=1 und n=4: z^4 = 1
z = 1, i, -1 oder -i (für alle gilt ja |z| = 1)


alles klar, danke


Vielen Dank für eure Hilfe. Vor allem an Chayyam für die ausführliche Antwort :slight_smile:
Viel Glück heute!