Präzise Definition von H bzw H_epsilon

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Präzise Definition von H bzw H_epsilon
Hallo miteinander,

nachdem BFS insgesamt doch ein sehr auf Präzision ausgelegtes Fach ist, ist mir heute aufgefallen, dass es doch einige kleine Unterschiede gibt, wie man H, H_epsilon und die Beispiele der NP-Probleme definieren könnte.
Bei den NP-Problemen finde ich die mathematischen Formulierungen grundsätzlich schöner, wobei wir in der Vorlesung und auf den Übungsblättern auch einige textuelle Definitionen hatten, insofern gehe ich dabei davon aus, dass es durchaus akzeptiert ist, die Definitionen auf verschiedene Art und Weise anzugeben.

Bei H und H_epsilon habe ich hingegen das Gefühl, dass da doch die eine und nur die ein Formulierung der Definition zählt, oder täusche ich mich da?

Ich für meinen Teil hätte H zum Beispiel gemäß meiner Mitschrift definiert als
H = { w | M ist eine deterministische 1-Band-Turingmaschine, die gestartet mit der Eingabe w hält}
Andererseits gibt es auch im Hinblick auf die Mitschriften der letzten Jahre hin und wieder kleine Unterschiede wie z.B. dass der explizite Hinweis auf das eine Band fehlt, oder dass die TM nach “endlich vielen Schritten hält”. Kann mir jemand sagen, was davon auf Faulheit beim Mitschreiben zurück zu führen ist und was wirklich als Definition von H gilt?
Und wo wir schon dabei sind, ist H_epsilon definiert als:
{ | M ist eine deterministische 1-Band-Turingmaschine, die gestartet mit dem leeren Band hält}
oder
{ | M ist eine deterministische 1-Band-Turingmaschine, die gestartet mit der leeren Eingabe hält}
oder ist die Definition doch eine dritte Variante?