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[Übung] Aufgabe Nr. 36 bzw Skript S.90
Bei der Aufgabe Nr. 36 berechnen wir das 1.Moment folgendermaßen:
∫(oben: ∞, unten: 0)∫(oben: x[sub]2[/sub], unten 0) x[sub]1[/sub]x[sub]2[/sub]f(x[sub]1[/sub],x[sub]2[/sub])dx[sub]1[/sub]dx[sub]2[/sub]
Soweit so gut.
Im Skript http://www2.am.uni-erlangen.de/~graef/wr1/script/wreins.pdf auf Seite 90 ist die gleiche Funktion gegeben. Hier rechnet der Gräf die beiden Marginaldichten aus. Nur verwendet er hier andere Grenzen:
f[sub]2[/sub]=∫(oben: x[sub]2[/sub], unten 0) (OK)
f[sub]1[/sub]=∫(oben: ∞, unten x[sub]1[/sub]) (WARUM???)
Weil man -bei bestimmung der Marginaldichten- den jeweils anderen Parameter über dessen gesammten laufbereich integrieren muss. (die resultierende Marginaldichte muss, integriert von 0 (bzw. manchmal -∞) bis ∞, 1 ergeben)
D.h. man muss das Integral so umformen, dass die herauszuintegriende Variable innen steht.
In diesem Fall:
man hat ja:
∫(oben: ∞, unten: 0)∫(oben: x2, unten 0) x1x2f(x1,x2)dx1dx2
=> f2 = inneres integral also =∫(oben: x2, unten 0) x1x2f(x1,x2)dx1
Umformen:
Int-Bereich= {(x1, x2) ∈R² | 0<x2<∞ UND 0< x1< x2} = (logische Umformung)
{(x1, x2) ∈R² | 0< x1 < x2 <∞} =
{(x1, x2) ∈R² | 0< x1 ∞ UND x1 < x2 <∞}
Damit für das Integral:
∫(oben: ∞, unten: 0)∫(oben: ∞, unten x1) x1x2f(x1,x2)dx2dx1
=> f1 = das jetzige innere Integral = ∫(oben: ∞, unten x1) x1x2f(x1,x2)dx2
klar?
Ich glaub ich habs kapiert. Danke!