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[Vordiplomsklausur] 10/2004 Aufgabe 6
Ich weiß überhaupt nicht, wie ich da ran gehen soll. Hat da jemand einen Tip (und ein Ergebnis)?
Du berechnest erst die Dichte der Verteilung von Y=X_1 - X_2 mit dem Transformationssatz für Dichten, da musst dann auch noch ein zweites y ergänzen, also sieht der ansatz so aus:
y_1 = x_1 - x_2
y_2 = x_1
Die gesuchte Dichte ist dann die erste Marginaldichte vom Ergebnis, also der Dichte von (Y_1, Y_2).
Mit der Dichte kannst dann über die normalen Formeln für m1 und m2 die Varianz berechnen.
Wir haben da glaub ich den Transformationssatz genommen und für Y[sub]1[/sub] das Y aus der Aufgabe, und Y[sub]2[/sub] :=X[sub]1[/sub] definiert.
Dann haben wir mit der Marginaldichte von Y[sub]1[/sub] weitergerechnet, da kam dann was in Abhängigkeit von X[sub]1[/sub] raus.
Ach ja,
f(Y[sub]1[/sub],Y[sub]2[/sub]) = 0,5Y[sub]1[/sub]Y[sub]2[/sub];
f[sub]Y[sub]1[/sub][/sub]=Y[sub]1[/sub]
haben wir beim Trafo-Satz rausbekommen
Dann halt noch die 2 Integrale, dass müsste ich jetzt nachschauen.
(Kein Anspruch auf Korrektheit!)
Wir haben uns auch gedacht dass man das evtl mit einer Kovarianz lösen könnte, wäre aber wahrscheinlich mehr Aufwand…
Edit2: auf den Seiten 91ff im Skript findet man Trafo-Satz und Beispiele dazu
Ich - schneller - tippen -muss
hier empflieht er allerdings mit x_2 zu ergaenzen, siehe aufgabe 82 in der klausuraufgabensammlung (die ist mit lösung, allerdings nur die dichte).
Mit X[sub]2[/sub] kam bei uns nix gescheites raus, aber vielleicht haben wir uns auch nur verrechnet…(also 2 haben X[sub]2[/sub] benutzt und 2 X[sub]1[/sub], mit X[sub]2[/sub] isses nix geworden)
LOL 
bei mir ist mit der ergänzung mit x_1 ne negative dichte rausgekommen 
also ich hab zuerst auch mit dem Transformationssatz angefangen und aus irgendeinem Grund beschloßen, es über Var(X1-X2)=Var(X1)-2cov(X1,X2)+var(X2) zu rechnen. Aber da ist nicht wirklich was sinnvolles rausgekommen…
Also wieder zurück zum Transformatinssatz…
Was habt ihr denn als Endergebnis?
Ich komm auf -28/9, das kann ja irgendwie nicht sein.
Welche Integrale, bzw. Grenzen habt ihr?
nachschau
Grenzen:
0<y[sub]1[/sub]<y[sub]2[/sub]
0<y[sub]2[/sub]<2
Marginaldichte f[sub]Y[sub]1[/sub][/sub] = y[sub]1[/sub]
m[sub]1[/sub] = ∫0 bis y[sub]1[/sub] von (y[sub]1[/sub]²) dy[sub]1[/sub] = 1/3y[sub]2[/sub]³
m[sub]2[/sub] = ∫0 bis y[sub]1[/sub] von (y[sub]1[/sub]³) dy[sub]1[/sub] = ¼y[sub]2[/sub][sup]4[/sup]
Varianz = m[sub]2[/sub] - m[sub]1[/sub]² = ¼y[sub]2[/sub][sup]4[/sup] - 1/9 y[sub]2[/sub][sup]6[/sup]
y[sub]2[/sub] kann man dann wieder durch x[sub]2[/sub] rücksubstituieren…
Aber ob das stimmt?
Eine Varianz kann meines Wissens nach durchaus negativ sein - die Standardabweichung nicht, die ist das Quadrat der Varianz.
ich hab selbes ergebnis wie claudius, aber irgendwie sieht das so…komisch aus.
hat noch jemand vielleicht einen anderen ansatz?
oder stimmt das so 100%ig?
also das mit der Ruecksubstitution erscheint mir plausibler, da wir y2 erfunden haben…
und wenn wir als Ergebniss dann nen Wert haben, der von was erfundenem abhaengt, dann ist das schon komisch…
Rücksubstituieren muss man eigentlich gar nicht, die gesuchte Dichte von Y ist die Dichte von y1 und damit die erste Marginaldichte. Davon ausgehend berechnest m1 und m2. y2 interessiert nicht mehr nachdem du die erste Marginaldichte berechnet hast.
oeh ja, damit kann ich jetzt nix anfangen… welche Integrationsgrenzen hast du verwendet? bei m1 und m2?
Hab die Aufgabe nicht extra gerechnet, aber die Grenzen für y2 um die Marginaldichte zu berechnen kriegst aus der Menge M* vom Trafosatz, m1 und m2 berechnest ja dann für y1 mit der Marginaldichte, die kriegt man auch aus M*.