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Vorlesungklausur Juli 2004
Zur Aufgabe 3:
Die Zufallsvariablen X und Y seien stochastisch unabhängig und mit Parametern LambdaX=1 und LambdaY=2 exponentiell verteilt. Berechnen sie die Kovarianz der Zufallsvariablen U = 2X + 3Y und V = 3X - Y.
Wer weiss wie ich da vorzugehen habe? Ich kann gerade mal die Verteilung von U und V berechnen (jedenfalls glaub ich das…) aber weiss dann nicht mehr weiter…
also ich mach das erst morgen, aber soweit ich mich erinner ist das im skript kapitel 14 (also das vorvorletzte) … aber schau halt einfach mal die aufgabensammlung an da gibts auch aufgaben von dem typ mit lösungen …
Laut Musterlösung suchst du cov(U,V) = cov(2x+3y,3x-y)
das kann man nach den Umformungsregeln soweit aufdröseln, dass 6 * var(x) - 3*var(y) = 6 m^index2(P hoch x) - 3 m^index2(P hoch y) = 6 m^index2(E(1)) - m^index2(E(2)) = 6- 3/4
m^index2 meint Varianz
Varianz von der Exponentialverteilung mit Parameter Lambda = 1 / λ^2
okay, also das wird ganz anders gerechnet…
im skript teil 14.3.2 finde ich allerdings keine Rechenregel, die mir so vorkäme, als könnte ich sie verwenden… Kannst du das umformen vielleicht nochmal genauer beschreiben?
und btw. woher hast du die Musterlösung, die mag ich auch 
Also ich hab es beim Graef in der Klausurbesprechung mitgeschrieben.
cov(u,v) = cov(2x+3y, 3x-y) = 2 cov(x,3x-y) + 3cov(y,3x-y) = 2(3cov(x,x) - cov(x,y) + 3(3*cov(x,y) - cov(y,y))
cov(x,x) = var (x) cov(x,y) = 0 wg lin. unabh.
= 6 * var(x) - 3 var(y)
Noch eine Frage
Angenommen U = XY und V = X (wie in VD April 2004, Aufg. 2 ) hast du dann auch eine Umformungsregel parat, oder gibts da wieder einen anderen Rechenweg?
[edit] hab inzwischen die umformungsregeln gefunden, aber für den Fall war keine dabei, hast du trotzdem Ahnung wie das geht?
nee, bei der Aufgabe habe ich auch schon gegrübelt. Man soll ja erst die Dichte ausrechnen. Mit der transformierten Dichte kann man ja auch auf die Kovarianz schließen - allerdings wird das dann ne üble Rumintegrierei und ich weiß nicht so recht, ob es da nicht einen Trick gibt, mit dem das einfacher geht. Den Ansatz wie in der Probeklausur kann man nicht so ohne weiteres benutzen, da ja in der 04/04 keine lineare Unabhängigkeit gegeben ist.
hab mir inzwischen überlegt, dass man die Dichte ja schön schreiben kann als Int( y2 * e^(-y2) * e^(-y1) ) und so argumentieren kann, dass die beiden s.u. sind und deswegen cov(y1,y2) = 0 ? Geht das, oder hab ich da einen Denkfehler? Bin mir nicht ganz sicher wie die Dichte nochmal aussehen muss, damit die beiden s.u. sind…
Hmm, du meinst sowas wie z.B. im Script auf Seite 97 oben?
Das sieht zumindest nach einer Möglichkeit aus. Aber k.a. ob das richtig ist.
PS.: ich meinte natürlich stoch. unabhängig und ned linear - ein eindeutiges Zeichen, dass ich mal ne Pause beim Mathelernen machen sollte.
Wo gibts denn die Vorlesungsklausur?
die hat der graef damals verteilt - weiß ned, obs die auch online gibt
Klick mal oben auf Linkliste
damit ist man fertig?
heisst das, dass die anderen Angaben λx=1 bzw. λy=2 und die exponentielle Verteilung fuern Arsch sind?
Soweit ich mich richtig erinnere [ohne ins Script zu schielen] ist die Varianz der exp. Verteilung 1/lambda^2, also var(x) = 1, var(y) = 1/4
also 6 - 3/4
Genau.
danke sehr
bitte sehr