loesungsvergleich
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14. uebungsblatt
servus,
da es fuer das tolle 14. uebungsblatt keine loesungen gibt (ausser julia findet wieder welche auf mysterioese art und weise winkmitdemzaunpfahl), wuerde ich sie hier gerne vergleichen. bin erst bis zur 89 gekommen, das langt mir aber erstmal:
86)
defbereich: R ohne {0, 8, -8}
stammfunktion: -0,5*ln | 1 - (3. wurzel von x)² |
87a)
betrag: 2*(wurzel von 2)
argument: 3/4*pi
87b)
s ist jeweils (3. wurzel von (2 * (2. wurzel von 2))
die winkel sind pi/4, 11/12*pi, 19/12*pi
den groessten realteil hat die loesung mit pi/4 als argument
88a)
rang = 2 fuer t = -3/4
rang = 3 fuer t ungleich -3/4
88b)
loesbar, wenn rang = 3, also fuer t ungleich -3/4
89)
eigenwerte 1, -1, 2
eigenraum zu 1: r * (0/1/0), r element R
eigenvektor zu -1: (0/0/0)
eigenraum zu 2: s * (-3/0/1), s element Rweiter bin ich wie gesagt noch nicht gekommen, wuerde mich trotzdem freuen, wenn jemand schon mal seine ergebnisse postet.
habe gerade noch den rest geschafft:
bei der 89 hatte ich was falsch, richtig ist:
89)
eigenwerte 1, -1, 2
eigenraum zu 1: r * (0/1/0), r element R
eigenraum zu -1: t * (-1/0/3)
eigenraum zu 2: s * (-3/0/1), s element R
was soll hier der 2. teil der aufgabe? man soll eine basis angeben, bezueglich der die abbildungsmatrix diagonalform hat. wie geht das?
90)
stammfunktion: 4/3 * ln | x-1| - 2/3 * ln (x²+2) - 1/(3*?2) * arctan (x/(?2))
91)a)
konvergent nach leibnitz, divergent ueber minorantenkriterium
b)
|c| > 1
92)a)
keine ahnung, wie man das schoen zeigt. jemand anderes?
b)
induktion
c)
konvergent, da monoton wachsend und beschraenkt
d)
a = 1 + ?2
93)
a) Unterraum
b) Unterraum
c) kein Unterraum
94)a)
keine loesung: alpha = - 1 und beta ungleich 0
unendlich loesungen: alpha = - 1 und beta = 0
1 loesung: alpha ungleich -1
b)
(0,5 / 0,5 / 2 / 2)
95)
a) induktion
b) restgliedabschaetzunghat sonst noch niemand dieses blatt gemacht?! wenn doch, schreib halt bitte kurz, was ihr anders habt.
Könntest du evtl mal mir die 86 erklären? Ich komm ums verrecken nicht drauf.
[edit]
Halt, gleube ich habs, bei mir kommt aber was anderes raus:
Subst mit (3.W x)²
dann kommt raus:
3/2 * ln[ 4 - (3.W x)² ]
hast du das was verbockt oder ich?
[/edit]
Und wie ist des bei der letzten mit der Restgliedabschätzung?
Da kann man ja für dieses komische Schlangenzeichen und x alles zwischen 0 und 2 einsetzen.
Dann schaut man mit welchen werten das maximal wird und das ist die Abschätzung?
zur 92a)
Ich habs mit induktion probiert:
n = 1:
a2 > a1
(…) √5/2 > 3/2.
Vor: an+1 > an
n → n+1
zz: an+2 > an+1
<=> √(1 + 2(n+1) / (n+2) * an+1) > √(1 + 2n / n+1 * an)
<=> (2n + 2) / (n+2) an+1 > 2n / (n+1) an
da laut vor. gilt: an+1 > an, schätzt man an mit an+1 ab. Es fallen alle n raus und man erhält 2 > 0.
Geht das auch irgendwie schneller?
Bei der 86 hab ich das ergebnis von Str1ch444 raus.
@steppenwolf:
zur 88a:
Ich habe Rang=2 fuer t=1 (dafür sind die ersten beiden reihen auch offensichtlich gleich)
@frank:
nach dem loesungsvergleich mit anderen leuten ist mir klar geworden, dass ich jede menge falsch hab. teilweise nur verrechnet, teilweise aber auch zu dumm gewesen…
wenn du weisst was die in 89,zweiter teil, von mir wollen, wäre es gut wenn du das hier reinschreiben wuerdest.
mit loesung waere es am besten 
zu Aufgabe 89:
Ich denke, daß die gesuchte Basis aus 3 linear unabhängigen Eigenvektoren von A besteht, also zum Beispiel:
b1 = ( 0, 1, 0)
b2 = ( 1, 0, 3) (ich habe andere Eigenvektoren zum Eigenwert -1 raus…)
b3 = (-3, 0, 1)
Bezüglich dieser Basis ergibt sich dann die Abbildungsmatrix
/ 1 0 0 \
| 0 -1 0 |
\ 0 0 2 /welche genau die Eigenwerte von A in der Hauptdiagonalen enthält.
zu Aufgabe 86)
habe da auch als Stammfunktion
F(x) = -3/2 * ln|4 - (3te sqrt aus x^2)|
zu Aufagbe 88a)
meiner Meinung nach ist das so:
Rang(A) = 1 für t = 1;
Rang(A) = 2 für t = 0;
Rang(A) = 3 sonst
zu Aufgabe 93)
weiss zwar nicht, was genau ein Unterraum sein soll, aber ich hab da andere Ergebnisse:
U1 ist KEIN unterraum, da
x^2 + y^2 = 0
y^2 = - x^2
y = sqrt(- x^2) nicht lösbar in R ==> kein Unterraum
U2 ist Unterraum mit y = 3/2 * x (Gerade durch den Ursprung mit Steigung 3/2)
U3 ist Unterraum mit x = 0 v y = 0 (U3 besteht aus den beiden Koordinaten-Achsen)
Und eine Frage:
wie kommt man bei Aufgabe 92d auf den Grenzwert? Hab keine Ahnung wie ich das mit ner rekursiven Folge berechnen soll… Weiss jemand Rat? Danke!! 
@tsunami:
88a: stimmt, habe ich jetzt genauso
93:
mittlerweile glaube ich fast, dass es eine fangfrage ist.
U1: x^2 + y^2 = 0 hat naemlich im reellen eine loesung.
(0,0) ist doch Teilmenge des R^2, oder nicht?
in U2 sind die vektoren r(2,3) drinnen.
elemente des R^2, also teilmenge?
in U3 sind die vektoren r(0,1) und s(1,0) drinnen.
auch R^2
Irgendwie habe ich das gefühl, dass die def. von teilmenge sehr unintuitiv ist oder die aufgabe zu leicht
zu 92:
grenzwert einer rek. folge?? keine ahnung… habe dazu auch nirgends was gefunden.
langsam wirds eng… :anx: :anx:
93:
U1 besteht nur aus dem Nullvektor und ist deshalb Unterraum des R^2 (s. Beispiel 4.10)
U2 ist Unterraum, da U2 unter Vektoraddition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist (Satz 4.9).
U3 ist kein Unterraum, da U3 unter der Vektoraddition nicht abgeschlossen ist:
z.B.: (1,0) ∈ U3, (0,1) ∈ U3; aber (1,0) + (0,1) = (1,1) ist nicht in U3 enthalten
92 d:
Das Berechnen von Grenzwerten rekursiver Folgen ist eigentlich ganz einfach. Schau dir einfach mal Übungsaufgabe 20c an.
One’s loesung zu 93 ist richtig, ich habe da was verwechselt 
grenzwert: stimmt, ich komme auf 1+sqrt(2)
ahhh… danke für den tip. is ja eigentlich echt nicht schwer.
und Unterraum = UnterVEKTORraum… muss man wissen.
(dass es aber nicht die Teilmenge sein kann hätte klar sein müssen - uiuiuiui…)
Thanx@One!