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37a
Geht recht einfach, wenn man erstmal folgende 2 Dinge herausgefunden hat:
-
ln i = ½π i (ergibt sich aus der Eulerschen Relation)
-
|e^z| = e^(Re(z)),
also der Betrag von e hoch einer komplexen Zahl ist e hoch ihr Realteil. Darauf kommt man so:
e^z = e^(Re(z) + i Im(z)) = e^Re(z) * e^(i Im(z)), und in der Exponentialform steht vorne immer der Betrag.
(Sorry, falls das schon längst in der Vorlesung dran war und jedem bekannt, aber ich bin selten anwesend! - und geistig anwesend noch seltener…)
Nach etwas Umgeforme steht dann da
e^(-Re(z) - ½π Im(z)) = 1,
also muss der Exponent = 0 sein.
Als Ergebnis kriegt man alle komplexen Zahlen raus, für die
Re(z) = -½π Im(z)
gilt. (Sind aber leider immer noch unendlich viele…)
Kannst du mir diesen Schritt mal erklären bitte ?
ln i = -½ π i 
Bekannt ist:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
ln i ist die Zahl, für die gilt:
e^(ln i) = i,
Wenn man die rechte Seite mit oben vergleicht, erkennt man, dass
cos φ = 0 und
sin φ = 1 gelten muss,
das ist für φ = ½π der Fall.
e^(½π i) = cos(½π) + i sin(½π) = i
Daraus folgt
ln i = ½π i
(Das Minus stimmte nicht, sorry)
Und jetzt mal eine ganz blöde Frage, was soll das Kästchen “π” bedeuten?
Das hab ich ihn auch schon gefragt. das ist unser PI !
Könntest du vielleicht noch das bisschen “Umgeforme” etwas genauer beschreiben?
Hinweis: für z setze ich a+bi, also a := Re(z), b := Im(z)
|i^z / e^z| = 1
|e^(z ln i)| / e^a = 1
|e^(a ln i + b i ln i)| / e^a = 1
|e^(½π(ai - b))| / e^a = 1
e^(-½π b) / e^a = 1
-½π b - a = 0
a = -½π b
b = -2/π a
Grosses Dankeschön an dich! Wenn du mal Probleme in Mathe hast kannst du auch gerne mal mich fragen 
@oberchecker:
der ln von i ist nicht 1/2 * PI *i … sondern 1 + 1/2 * PI * i …[Fehler: der ln von i ist tatsächlich 1/2 * PI * i]
das ergibt sich daraus, dass der ln einer komplexen Zahl z folgendes ist:
|z| + i * Arg(z) [Fehler: da muss noch ein ln vor den Betrag]
für z=i ist der ln also 1 + i * 1/2 * PI … [Fehler: siehe oben]
HA 
… [ g ]
ACHTUNG SPOILER!!!
und als [nun korrigierte] Lösung bekommt man dann (z1)=0 und (z2)=irgendwas unbekanntes g …
Ich hab zwar wenig Ahnung von der Materie, aber das Arg(z) ist doch arctan(b/a) und bei z=i ist a=0.
Ausserdem hab ich blindes Vertrauen in unseren Krull
genau … und weil der Realteil 0 ist, ist das Argument 1/2 * PI
[QUOTE]das ergibt sich daraus, dass der ln einer komplexen Zahl z folgendes ist:
|z| + i * Arg(z)[/QUOTE]
Wie kommst du denn darauf?
Also wenn ich deinen Logarithmus wieder zurückrechne, d.h. e^(1 + i * 1/2 * PI), dann kommt bei mir e*I raus und nicht I.
Da haste dich wohl verrechnet !!
z = |z| * exp ( i * Arg (z))
und davon der ln ist:
ln z = ln |z| + i*Arg(z)
ok, nach eifrigem Nachschauen, -denken und -fragen scheint mir der ln von einer komplexen zahl doch eher
ln |z| + i * Arg(z)
zu sein … also noch ein ln vor den betrag. Aber so stimmt es dann auch. Scheine das in der Übung nur falsch abgeschrieben zu haben, was Herr Engel an die Tafel malte g …
und dann stimmt auch ln i = i * 1/2 * PI …
sorry für die Verwirrung 
hmm, vielleicht bin ich ja wirklich blind…
aber im zweiten schritt kommst du von |e^z| auf e^a
also doch:
|e^z| = |e^(a+ib)|
= |e^a * e^ib|
= e^a
überseh ich was? wie soll das gehen 
…
Hey Alex, das was du hingeschrieben hast passt doch, oder etwa nicht? Wir haben es so abgegeben…
Irgendjemand hat uns das naemlich so erklaert: |e^ib|=1
Dann stimmt die Formel wieder, oder?
Aber ich vergebe hier keine Garantien…
Laut Formel ist
ρ e^iφ
die Exponentialdarstellung einer komplexen Zahl mit ρ als Betrag und φ als Argument.
Bei
|e^a * e^ib|
ist halt dann e^a der Betrag…
hehe
den wald vor lauter bäumen nicht gesehen …