Aufgabe 57

Bachelor Mathematik I
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Aufgabe 57
Check nix.

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Na ja ich glaub diese Zs sind Restklassenkörper.
Und damit musst du Vektorräume bauen.
z.B.: (Z2)^3={(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,1)…}
und dann Unterräume raussuchen. :]

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Genau. Des Problem is bloß, alle Unterräume zu finden dies gibt. Des heißt, du darfst mit Addition und skalarer Multiplikation nicht aus deinem Unterraum selber wider rauskommen.

War ein Schmarn

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Alos ich weiß nur dass es insgesamt 14 Unterräume bei (z2)^3
gibt. Und bei (z3)^2, 7 Stück.

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Äh plus die Trivialen.

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das ist richtig.

nur: dann komme ich mit (1,1)+(1,1) doch wieder aus dem (1,1)-UV-Raum heraus?

und was ist mit (0,0)?

wiso darf eigentlich nur 1 vektor im UV-Raum sein?

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… und woher? :frowning: :wand: :wand: :wand:

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wie würde ich denn aus dem körper überhaupt rauskommen?
wenn ich einen körper mir 3 elementen habe: {0,1,a}
und es gilt:

+|0 1 a
-------
0|0 1 a
1|1 a 0
a|a 0 1

dann bekomm ich doch bei (1,1)+(1,1)=(a,a) heraus…
oder denk ich wieder viel zu kompliziert :wink:

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Doch das is richtig, es wird ja schließlich modolo gerechnet.

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Ich bezieh mich immer auf die Basen die den Unterraum aufspannen, nicht auf die Element des Unterraums. Ist vielleicht nicht so ganz klar geworden

Wenn du den VEKTOR (1,1) hast, dann kannst du damit auch skalar multipliziert (2,2) und (0,0) darstellen. Somit kannst du aus diesem Unterraum nicht herauskommen. Genauso ist es bei (0,1) und (1,0).

Des Herauskommen ist allerdings hier nicht des eigentliche Problem, sondern eher, zu erkennen, welche Unterräume gleich sind und die dann zusammen zu fassen. Den Unterraum den (0,1) aufspannt ist zum Beispiel der selbe, den (0,2) aufspannt. Also ist des ganze nur ein Unterraum!!!

Hab allerdings drei Unterräume vergessen:
(1,2) spannt den Unterraum mit den Elementen (0,0) (1,2) (2,1) auf.
(0,0) ist auch Unterraum + V selbst!
Somit wärens dann bei der a) 6 Unterräume. Mehr fallen mir jetzt aber wirklich nicht ein.

Wie wärs, wenn ihr alle mal eure Unterräume hinschreibt :] Dann könnte man besser darüber reden was ihr meint.

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a)

  1. { (00) }
  2. { (00) (10) (a0) }
  3. { (00) (01) (0a) }
  4. { (00) (11) (aa) }
  5. { (00) (1a) (a1) }
  6. (Z3)²

b)

  1. { (000) }
  2. { (000) (100) }
  3. { (000) (010) }
  4. { (000) (001) }
  5. { (000) (110) }
  6. { (000) (101) }
  7. { (000) (011) }
  8. { (000) (111) }
  9. { (000) (100) (010) (110) }
  10. { (000) (100) (001) (101) }
  11. { (000) (010) (001) (011) }
  12. { (000) (100) (011) (111) }
  13. { (000) (010) (101) (111) }
  14. { (000) (001) (110) (111) }
  15. (Z2)³

Offenbar ist die Mächtigkeit des Unterraums immer eine Potenz der Mächtigkeit des Grundkörpers (Z3 bzw. Z2). Bei a) kann es also nur Unterräume mit |U| ∈ {1, 3, 9} geben; bei b) nur welche mit |U| ∈ {1, 2, 4, 8}. Deshalb bin ich mir ziemlich sicher, alle gefunden zu haben; ich lasse mich aber gern korrigieren :smiley:

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also {(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)} ist z.B. auch noch ein Unterraum. Bin mir nicht sicher obs sonst noch einen gibt. Hab jetzt auch keine Lust weil abgegeben hab ichs soweiso schon, aber ich glaub jetzt sinds wirklich alle :wink:

Des einzige was ich mich frag: wenn ein Unterraum gleich dem Vektorraum selbst ist, ist des dann noch Unterraum. Des is doch dann keine Teilmenge von V mehr, oder? Is in der Vorlesung nicht so genau gesagt worden.

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ich wuerde sagen, dass nein. das ganze ist nicht abgeschlossen bzgl. der multiplikation. z. b. ist (101) mal (011) gleich (001), was nicht element des unterraums ist. aber auch ich lasse mich gerne korrigieren.

[QUOTE]Des einzige was ich mich frag: wenn ein Unterraum gleich dem Vektorraum selbst ist, ist des dann noch Unterraum. Des is doch dann keine Teilmenge von V mehr, oder? Is in der Vorlesung nicht so genau gesagt worden.
[/QUOTE]

es ist auf jeden fall ein unterraum. der raum mit nur dem nullelement und der raum mit allen elementen des oberraums sind die trivialen unterraeume, aber sie sind auf jeden fall unterraeume.

gruss,
-steppenwolf

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Ja, so hab ich das auch in etwa raus. :slight_smile:

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Aber: hmmm. Ist nicht ein weiterer Unterraum auch der, der durch z.B.: {(0 0),(0 1),(a a)} aufgespannt wird???

:cool:

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Nein, da (0,1)+(a,a)=(a,0) ergibt

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Der Unterraum muss nur gegenüber Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen sein!(Satz 4.9 (1)(2))
(0,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(0,1,1) ist bzgl. Addition auf jeden Fall abgeschlossen und bzgl. skalarer Multiplikation auch.
Somit ist des ganze ein Unterraum!!!

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