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Aufgabenblatt 1
Wir brauchen wieder einen Matheschein, deswegen mal wieder Aufgaben vergleichen:
a) Nach Erweitern kommt man auf limes(n → ∞) a_n = 0, aber ein Vergleich mit der harmonischen Reihe führt dazu, dass auch ∑(√(n+1)-√n) divergiert
b) limes(n → ∞) a_n = 1/e >> Divergenz
c) limes(n → ∞) a_n = 0. Weiter komm ich im Moment nicht. Der Kosinus stört. Auch mit ein wenig Herumschonglieren und Abschätzen (also Dingen ala |cos n| ≤ 1) komm ich zu nichts.
b) So wie ich das verstehe ist nach dem Kosinus des Zwischenwinkels von Spirale und schneidentem Kreis gefragt? Und da wäre dann meine Vermutung: cosφ = 1 / √(c²+1)
Soviel erst einmal.
Wie immer keine Garantie 
Und jetzt mal zum ersten Mal im Leben mit Fourierreihen beschäftigen und hoffen, dass das reicht um bei Aufgabe 2 etwas zusammen zu bekommen…
EDIT:
2a) f(x) = 4/PI * ∑ [ 1/n³ * (1 - cos(nPI)) * sin(nx) ] = 8/PI * (sin(x) + 1/3³ sin(3x) + 1/5³ sin(5x) + …)
Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis-Fourier-Reihen-Kosinus- und Sinusreihen-Reelle Fourier-Reihe
Fourierreihe – Wikipedia
Also bei der 1a hab ich das so gemacht: Ist ja die Teleskopsumme, für n->∞ geht die doch gegen das letzte Glied und das wird ja beliebig groß hier …
Hast doch sowas, z.b. wenn du bis 3 die Reihe darstellst:
a_2 - a_1 + a_3 - a_2 + a_4 - a_3 = -a_1 + a_4 in dem Fall halt √(5) - √(1) usw. und so kommt man doch auch auf die Divergenz.
Bei der 1c komm ich auf ne konvergenz, aber ne Strange, und der Rechenweg ist mehr als löchrig.
2 & 3 mal angucken.
Das Problem bei der 1 ist, dass ich auch keine praktische Erfahrung mit Reihen hab.
Ich hab mir halt das Skript vom letzten Jahr und den Bronstein angeschaut.
An Teleskopsumme hab ich jetzt gar nicht gedacht…
Ich hab mit √(n+1)+√n erweitert und dann kam ich auf a_n = 1 /(√(n+1)+√n).
Da konnt ich dann recht einfach zeigen, dass ab einem bestimmen n immer gelten muss a_n > 1/n >> Divergenz
Bei der c) ist mein Tipp ja auch, dass die Reihe konvergent ist. Schon weil sonst ja alle Reihen auf dem Übungsblatt (vorrausgesetzt a) und b) hab ich richtig) divergent wären, und das geht ja mal gar nicht 
Über 1c werd ich glaube erst dann wieder nachdenken wenn klar ist das n=0 ein Druckfehler war.
Fourier haben wir brutal ausintegriert und sind auf 8/(πk³) für ungerade k, sonst 0 gekommen.
Entsprechend sum_(n=1)^infty 8/(π(2n-1)³) sin((2n-1)x).
Bei der 3 sind wir auch auf 1/sqrt(c^2+1) gekommen. (Ableiten, Skalarprodukt)
Ich frag mich die ganze Zeit, warum ich da ein PI hab und du nicht, bis mir wieder eingefallen ist, dass das PI ja ausschaut wie ein n …
Weil dann hab ich genau das Gleiche, “Verschönert” (d.h. weg mit dem Kosinus) um die Tatsache, dass bei ungeraden Zahlen sowieso 0 herrauskommt, und dann auch noch mit herrausgezogenen Konstanten komm ich auf:
f(x) = 8/PI * sum_(n=1)^infty 1/((2n-1)³) sin((2n-1)x)
Was meint eigentlich der Aufgabenteil b)? Einfach Einsetzen und fertig… ?
Die 2b ist einsetzen und hinschauen. :>
Einfach mal f(pi/2) über Reihen- und Funktionsdarstellung rechnen und hinschauen …
Ich krieg pi^3/32=sum_(n=1)^infty 1/(2n-1)^3.
Mit dem Ergebnis im Hinterkopf sieht mans wahrscheinlich sofort. ;D
Okay, Thx. Ich konnt mir nichts unter der Formulierung vorstellen.
Aber im Prinzip ist es ja nur: Funktion(PI/2) = Fourier-Reihe(PI/2)
Dann ists natürlich klar.
Allerdings muss ich sagen komm ich durch “hinschauen” auf ein anderes Ergebnis und zwar:
PI^3/32 = sum_(n=1)^infty [ (-1)^(n+1) * 1/(2n-1)^3 ]
sin(PI/2) = sin(5 * PI/2) = sin(9 * PI/2) = … = 1
sin(3 * PI/2) = sin(7 * PI/2) = … = -1
oder?
kann die 3te so bestätigen, cos φ = √(c²+1) … Nummer 2 morgen dann 
Ja, ich hab mich auchnoch verschaut. ^^
PI^3/32 = sum_(n=1)^infty [ (-1)^(n+1) * 1/(2n-1)^3 ] stimmt
ich bin leicht verwirrt wie kann mich da des sehen? 
ich hab hier nur ein ausdruck mit cos, sin. bzw ich setzt jetzt fuer x den wert ein und dann hackts bei mir :S
Schreib die trigonometrischen Ausdrücke um indem du dir das Funktionsverhalten an den Stellen klarmachst. Läuft fast immer auf ne gerade-vs-ungerade Argumentation von pi-faktorigen Winkeln hinaus, was zu (-1)^… und so Geschichten führt.
Aufgabe 3
Ähm, ja, und warum bekomm ich cos \phi = \frac{1}{e^{ct}(c^2+1)}. Sowas doofes, ich hab als Länge vom Spiralvektor e^{2ct}*(c^2+1). Na, ich weiß ja net…
edit: gelöst…
also heut in der uebung meinte der uebungsleiter uebrigens dass die 0 bei der 1c) ein druckfehler is und da eigentlich ne 1 hingehoert… :huh:
Ich hatte da gestern auf dem Weg ins Bett (der sich dadurch noch ein bisschen verzögert hat → ich bin jetzt so richtig müde…) noch eine Idee: [m]Summe_{k=1}^infinity cos(n)/n[/m] schaut fast ein bisschen nach der Auswertung der Fourier-Reihe einer geraden Funktion an der Stelle [m]x=1[/m] mit [m]a_n=1/n[/m] aus.
Wenn man es jetzt schaffen würde, eine Funktion [m]f(x)[/m] zu finden, so dass [m]1/n = 2/pi * int_0^pi (f(x) * cos(nx) dx)[/m], hätte man das Ganze gezeigt – allerdings schaut das so kompliziert aus, dass ich ohne Bronstein nicht mehr weitergekommen bin um halb 1… Dafür steht da was durchaus brauchbares: [m]Summe_{k=1}^infinity cos(kx)/k = -ln(2*sin(x/2))[/m] (wie auch immer man da dann draufkommen würde… aus der anderen Richtung?)
Und damit ergibt sich dann, dass die Reihe gegen [m]-ln(2sin(1/2)) ~= 0,0420[/m] konvergiert, beweisen könnte man das vermutlich, indem man noch [m]-ln(2sin(x/2))*cos(nx)[/m] integriert… 
Das geht auch einfacher, im Bronstein ist ja das Integral für cos (n)/n gegeben, und da das existiert muss auch die Reihe existieren …
Das reicht so aber nicht aus – wenn die diskreten Werte in der Summe beispielsweise immer gerade einen Maximalwert erwischen, während die im Integral vorhandenen kompensierenden negativen Anteile wegfallen, …
[m]int(cos(2Pix)/x, x=1…infinity) = -Ci(2Pi) ~= 0.022561[/m]
vs
[m]sum(cos(2Pi*x)/x, x=1…infinity) = infinity[/m]
Integralkriterium geht ja schon nicht weil nicht die Glieder nicht monoton fallend und auch nicht immer >=0 sind.
args, auch wieder wahr Ich war jetzt ein wenig aufm falschen Dampfer, werde wohl nächste Woche den Bronstein mitnehmen zwecks Kriteriencheck. Ist doch trickier wie gedacht.