Blatt 4

Bachelor Mathematik II
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Induktion

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Blatt 4
Hi Ersties,

auf Herrn Kräutles Seite:
Erläuterungen für ‘Erstsemester’ zum Thema ‘Vollständige Induktion’ incl. Beispiel

Das zweite Beispiel sieht der Aufgabe A12 auf Blatt 4 ziemlich ähnlich… :wink:

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so ganz aus dem Nichts ist die Aufgabe auch relativ schwer, hab auch den “Binom-Beweis” genommen und transferiert, wenn man das überhaupt so nennen kann.

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im Internet gibt’s da auch sehr viel…

VLLT findet man ja auch den gesamten Beweis? :wink:

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Aber ob der dann auch stimmt…

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A14 c)
Bei dieser Aufgabe weiß ich gerade nicht weiter… hier kommt ja nicht 0/0 oder oo/oo vor…
Hat da jemand einen Lösungsansatz?

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Es kommt erst mal lim[sub]x →0[/sub](x ln x) = 0ln 0 = 0-∞
Also Differenzieren:
lim (x ln x) = lim (x ln x)’ = lim (x’ ln x + x ln x’) = lim (1 · ln x + x ∙ 1/x ) = lim (ln x + 1) = −∞ + 1 = −∞

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Das ist leider falsch, denn differenzieren darfst du nur bei ausdrücken der form 0/0 oder oo/oo. (der grenzwert der funktion muss anschaulich 0 sein, da der ln gegen jedes polynom (insbesondere x) „verliert“ (analog „gewinnt“ exp(x) )

Daher muss man den Ausdruck zunächst umformen:

x * ln x = ln x / (1/x) → -oo / oo

differenzieren liefert: (1/x)/(-1/x²)
kürzen: -x → 0

edit: das, was du machst, setzt voraus, dass der grenzwert der funktion immer gleich dem grenzwert der ableitung wäre…

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Stimmt.

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Man darf l’ Hospital auch bei 0 * oo oder ähnliches anwenden man muss es allerdings richtig machen, also jeden Term für sich. Du verwendest ja auch nichts anderes wie 0 * oo = 0 / (1/oo) = 0 / 0

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das verstehe ich jetzt nicht ganz.

wenn man x * ln x “einzeln” differenziert (d.h. ohne anwendung der produktregel), kommt man zu 1 * 1/x = 1/x.
von 1/x ist aber der grenzert gegen 0 nicht 0, sondern oo.

oder wie hast du das gemeint?

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Für L’Hospital muss der Ausdruck aber als Bruch vorliegen, d.h. die direkte Anwendung auf x * ln(x) ist nicht erlaubt. “Einzeln” differenzieren heißt hier, dass du Nenner und Zähler unabhängig voneinander differenzieren darfst.