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Blatt 5
Aufgabe 1 b)
Hat dieses Hochkomma im Nenner rechts über dem letzten x irgendetwas zu bedeuten?
Ich glaube, es ist ein Tippfehler. Komma kommt nach dem Bruch, vor a!=0.
Aufgabe A17 c):
Um es übersichtlicher zu machen: f^(-1) (x) = g(x)
Die Formel für g’(x) findet man ja überall. Die Formel für g’‘(x) wurde in P10 hergeleitet. Muss man sich hier wirklich die Formel für g’‘’(x) selber herleiten oder gibt es noch einen einfacheren Weg?
Kann jemand meine Ergebnisse verifizieren?
g(0) = 0
g’(0) = 1
g’‘(0) = -2
g’‘’(0) = 9
Wenn das letzte nicht stimmt, hab ich die Formel falsch hergeleitet aber das is auch ziemlich kompliziert imo.
[quote=BastiW]Kann jemand meine Ergebnisse verifizieren?
g(0) = 0
g’(0) = 1
g’‘(0) = -2
g’‘’(0) = 9[/quote]Du kannst die Formeln auch einfach bei WolframAlpha eintippen und dir jeweils die Ableitung ansehen (und dann natürlich auch gleich noch für x=0 ausrechnen lassen).
Hab jetzt bischen rumprobiert damit aber leider nicht rausgefunden, wie ich damit eine Umkehrfunktion bilden kann bzw. Werte in die Ableitung der Umkehrfunktion einsetzen kann.
Noch kurz eine Frage zur d):
Ich hätte das so gemacht, dass ich je 1 und -1 bzw. -0,1 und 0,1 in das Restglied eingesetzt hätte und geschaut welcher Wert dann größer ist. Da die gegebenen Intervalle symmetrisch um den Entwicklungspunkt liegen, muss ja einer der beiden Randpunkte die größte Abweichung aufweisen (= obere Schranke der Abweichung in diesem Intervall). Kann das stimmen?
Muss man die Umkehrfunktion überhaupt bilden? Ich kenn doch den Wert der Umkehrfunktion bei 0 und die Ableitungen berechne ich mit der “Differenziation von Umkehrfunktionen” - Ohne die U-fkt. überhaupt zu brauchen 
ist das richtig?
Ja man leitet halt immer die Ableitungsformel für Umkehrfunktionen ab, und setzt ein.
um den fehler abzuschätzen musst du dir das Restglied anschauen (am besten in der Darstellung nach LaGrange)
das Restglied gibt dir dann für ein p aus dem Bereich [x0,x] den Fehler an. Wenn ich das richtig verstanden habe dann musst du also das Restglied bilden und dann dieses Restglied für das Intervall [-1,1] abschätzen.
habs aber noch nicht gerechnet, ist nur soweit ich das mit dem Restglied (hoffentlich) richtig verstandne habe.
gruß
sotsoguk
ps: Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Entwicklung der Umkehrfunktion hier findet sich ein anschauliches beispiel für die taylorentwicklung der umkehrfunktion. ist im prinzip genau das gleiche verfahren wie in P10, nur wirkt es nicht so unübersichtlich da der Autor gleich mit den Zahlenwerten arbeitet
Hey,
kommt bei der 1b) zufällig
0,5x³ + x² + x
raus?
Muss man dafür diese komische Formel benutzen oder gibt’s da eine elegantere Variante?
hab grad die c) gerechnet…
ich hab auch
raus!
schau am besten mal bei wikipedia nach, das Restglied sieht vom Prinzip aus wie der (hier) 4. Term des Taylorpolynoms. (in Lagrange Darstellung).
ich hab für die fehlerabschätzung mal raus (hat des jemand auch so?):
für x e [-1,1] |R(x)| <= 0,56 * x^4
für x e [-0.1,0.1] |R(x)| <= 0,188 * x^4
jup, stimmt
hab ich genauso raus 
Jop hab ich auch raus… Aber vorsicht beim Runden!!!
Es ist 0,566 => 0,57 und 0,1888 => 0,189
(wäre ja ärgerlich, wenn man dafür Punktabzug bekommt 
)
sehr gut!
ich runde doch nicht, is nur meine eigene gleitkommadarstellung, 2-stellen mantisse und danach abschneiden und nicht runden
hiho
bin grad bei aufgabe A 16.
und da steht ja bringen sie einen satz der vorlesung zur anwendung.
und welchen meinen die da?
danke euch
gute frage, also was ich gehört hab und mir auch vorstellen kann meinen die wohl den mittelwertsatz. aber ich hab für meine antwort den satz nicht explizit gebraucht. weiß nicht ob man den wirklich braucht, oder ob ich einfach was überseh.
ich hab mir einfach den differenzenquotienten hingeschrieben (ist ja definiert auf (a,b) da f in dem intervall diffbar ist), und dann stehts meiner meinung nach eigtl scho da dass die funktion monoton steigend ist wenn f>0.
falls jemand ne elegantere (richtigere ??) lösung hat immer her damit
gruß
Ohne Anspruch auf Korrektheit:
Monoton wachsend im Intervall (a,b) bedeutet ja, dass für zwei beliebige Punkte u und v aus (a,b) mit u < v gilt: f(u) < f(v)
Zwischenwertsatz:
Es existiert ein Punkt w zwischen u und v mit u < w < v für den gilt:
( f(v) - f(u) ) / (v - u) = f’(w)
Da w ja auch im Intervall (a,b) liegt, gilt f’(w) > 0
→
( f(v) - f(u) ) / (v - u) = f’(w) > 0
→
( f(v) - f(u) ) / (v - u) > 0 // * (v - u)
→
( f(v) - f(u) ) > 0 // + f(u)
→
f(v) > f(u) q.e.d.