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Blatt 8
Aufgabe A21:
Wie ist hier verlangt vorzugehen?
Online hab ich dieses Vorgehen gefunden:
- Die ersten paar Integrale berechnen
- Daraus eine Vermutung für einer allgemeine Formel aufstellen
- Diese durch vollst. Induktion beweisen
Gibt es vielleicht eine weniger aufwändige Variante? Wurde in der Vorlesung dazu groß was gesagt?
denke das geht ähnlich der P15… da ist es halt mit dem sin gemacht und du musst dasselbe mit’m cos machen 
Schritte:
- Basisfälle beweisen/herleiten (also cos und cos^2)
- (Integral mit S abgekürzt):
S cos^n = S cos^1 * cos ^(n-1)
=> partielle Integration
=> sin^2 durch 1-cos^2 ersetzen und AUF BEIDEN SEITEN (d.h. bei S cos ^n = (partiell integrierter Teil)) das Integral (n-1)-Mal addieren
=> [(n-1)+1] * S cos^n = (partiell integrierter Teil nur noch mit cos^n-2)
=> [(n-1)+1] = n => auf andere Seite bringen und voila Rekursionsformel: S cos^n = 1/n*(partiell integrierter Teil nur noch mit cos^n-2)
(ist jetzt vllt schwer zu checken, wenn man’s im Forum ließt… im Notfall nochmal schreiben )
EDIT: hab grad gesehn es war P15 nicht P19!
Super danke dir!! Konnte die Aufgabe mit deiner Hilfe und Bronstein S. 1094 Nr. 317. lösen 
A23, A24 und A25 hab ich auch hinbekommen. Kopfzerbrechen bereitet mir noch die A22 mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung. Hat da vielleicht jemand nen Ansatz?
jup, geht fast genauso wie P19. zum überprüfen (zb mit formelsammlung) aufpassen dass das rekursive ergebnis auf den ersten blck ganz anders als die direkte formel aussieht und man a weng umformen muss damits richtig aussieht.
die aufgabe ist nicht schwer. schau dir nur den satz an (den mit der abschätzung k (minimum f(x)) und K (maximum f(x))):
k S g(x) <= S g(x)*f(x) <= K S g(x) (S ist Integralzeichen)
jetzt nur noch schaun was du als f oder g nimmst und dann stehts da
Was genau ist das das k bzw. K ?
Ich nehm an, dass man für g(x) cos^5(x) nimmt, da wir das schon in der Aufgabe vorher berechnet haben.
Bedeutet das, dass k das Minimum von 1 / sqrt(x²+1) und K das Maximum ist? Auf ganz R oder nur im entsprechenden Intervall (0 bis Pi / 2)?
ja min und max im intervall logischerweise
Ah ok vielen Dank soweit.
Doch noch eine Frage zur A24b): Wie bestimmt man, ob das ne Min- oder Maxstelle ist? Muss man da ernsthaft die zweite Ableitung bilden und einsetzen oder gibts da einen einfacheren Weg?
Über den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung alternativ.
von + nach - => max von - nach + => min wenn man von links nach rechts geht, die sogennante h-Methode f’(x-+h)…
Das ist auch die zuverlässigste Methode da die 2. Ableitung einne auch mal irre führen kann
Kann mal wer was zur A24 sagen?
für die Ableitung wärs ja laut Hauptsatz, exp(cosh²x) - exp(sinh²x) stimmt das so?
Extremwerte wären ja dann am Rand zu suchen, da cosh²x -sinh²x = 0 laut A23a) ja nicht stimmt.
Hab das so gemacht, wie es dort der “Leopold” bzw. “iammrvip” erklärt hat und auf unsere Aufgabe übertragen. Denk, das müsste so stimmen…
achso, also müsst ich noch nachdifferenziern, das erklärt den kettenregel tip
Hab das irgendwie immer noch nicht ganz verstanden:
Also ich nimm für g(x) = cos^5 x und für f(x) = 1 / sqrt(x² + 1)
Dann hab ich jetz gezeigt, dass für f(x) im Intervall 0 bis Pi / 2 bei 0 ein Maximum und bei Pi / 2 ein Minimum ist. D.h. k = Pi / 2 und K = 0? Das macht keinen Sinn. Ist vielleicht k = f(Pi / 2) und K = f(0) gemeint?
Wenn ich die Werte habe, was mach ich dann mit dem Integral von g(x)? Das ist ja zunächst auch erstmal eine Funktion in Abhängigkeit von x. Wie mach ich dann eine Abschätzung für die konkreten Werte aus der Angabe?
Edit:
@Mago: Was hast du dann für den Extremwert raus? Zufällig auch: x = 1/2 ((ln(2/(1-e^-1)) - 1)?
Ich meine, das ist auch kein Spaß so nen Wert (± 1) zur Bestimmung des VZW jeweils in die Ableitung - in der (bei mir) das x eh schon 4 mal vorkommt - einzusetzen. Hat jemand eine bessere Idee?
Ne also wenn ich Meine Lösung nochmal nachdifferenziere, krieg ich ja für die Ableitung 2sinhxcoshx * ( exp(cosh²x) - exp(sinh²x)) raus . für die Extremwerte gilt, ja dann das selbe, die müssten am Rand sein, da cosh² x != sinh²x is
Was kriegst du denn für die Ableitung raus?
zu der anderen aufgabe, kuck dir mal den wiki-artikel an, da ists gut erklärt. Dein zweiter gedanke ist schon richtig. k ist das infimum, und das ist nunmal am kleinsten wenn x den größtmöglichen wert, nämlich pi/2 annimmt.
Und abschätzen ist ja wohl kein problem, schau dir halt an was du dastehen hast und vergleiche es. du musst eigtl nur sqrt(pi²/4 +1) durch sqrt(5) abschätzen.
Ich geh folgendermaßen vor:
-
Substitution g(t) = exp(t²) mit G(t) als Stammfunktion.
f(x) = G(cosh x) - G(sinh x)
f’(x) = g(cosh x) * sinh x - g(sinh x) * cosh x
- Resubstituion
f’(x) = exp(cosh² x) * sinh x - exp(sinh² x) * cosh x
Da nach Extremwerten gefragt ist, setze ich diese Ableitung gleich 0 und nach einiger Rechnerei komm ich dann auf diesen einen Wert für die Extremstelle (= Nullstelle der Ableitung).
Edit: Die andere Aufgabe schau ich mir morgen nochmal an.
Also mein Extremwert ist bei x=0 und der klingtauch recht plausibel.
Ich hab das ohne Substitution gemacht, die sieht auch sehr fragwürdig aus, ehrlichgesagt.
deine Funktion ist ja exp(t²) also musst du auch cosh² bzw sinh² nachdifferenzieren
Wieso?
deine Funktion ist ja exp(t²) also musst du auch cosh² bzw sinh² nachdifferenzieren
soweit ich Substitution verstanden habe darfst du nicht einfach so mal was einsetzten, schau dir das bei den Integralen noch mal an. Da du die funktion völlig veränderst müsst du auch dein d/dt verändern. also ich würd nicht meine hand dafür ins feuer leugen, aber deine lösung kann so nicht gehen, den sonst könnte ich jede funktion auf irgendein g(t) zurückführen. du substituierst ja nicht richtig du definierst dir einfach eine neue funktion damits leicht wird