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divergent = surjektiv ?
Habe die Ehre
beim Mathe lernen hat sich ne Frage aufgetan, und zwar auf dem Übungsblatt 4, Aufgabe P10 a)
Man soll beweisen dass die Funktion eine Umkehrfunktion hat. Das macht man (auch laut Musterlösung) indem man zeigt dass sie bijektiv ist. Bijektiv = injektiv + surjektiv.
Injektiv ist die Funktion, da sie streng monoton ist. Soweit so gut. Dann wird in der Musterlösung der Grenzwert gegen unendlich berechnet. Und dieser ist unendlich (also divergent). Sagt das dann automatisch aus, dass sie surjektiv ist?
In der Musterlösung stehts nicht wirklich… Und im Internetz hab ich auch nichts brauchbares gefunden…
Danke schonmal
Im Allgemeinen gilt das nicht, da die beiden Begriffe nicht wirklich was miteinander zu tun haben. Z. B. x^2; D=R; W=R => geht gegen Unendlich ist aber nicht surjektiv
Das gilt auch im speziellen nicht, das hat nichts miteinander zu tun…
Eine Funktion ist aber zB surjektiv, wenn sie streng monoton steigend ist, vielleicht wird das da gezeigt…
arw meint injektiv, also das, was du auch aus der Musterloesung beschrieben hast.
Im Speziellen - also in bestimmten Fällen - lässt sich durch Divergenz Surjektivität durchaus zeigen.
Zur konkreten Frage kann man ohne die konkrete Aufgabenstellung zu kennen - sowie die Musterloesung, falls genau dieser Loesungsweg erklaert werden soll - kaum mehr sagen. Verlink’ doch z.B. mal die PDFs.
Okay danke schonmal soweit. Hab voll vergessen den link zu posten… Aber hier:
http://www1.am.uni-erlangen.de/~kraeutle/IngMath2C-WS08-UEB/blatt4loesung.pdf
Der Grenzwert wird hier tatsächlich verwendet, um die Surjektivität zu zeigen.
Denn man weiß, dass die Funktion streng monoton steigt. Daraus und aus dem Grenzwert unendlich folgt, dass alle Werte zwischen f(2) und unendlich angenommen werden => f ist surjektiv.
Jedoch könnte der Grenzwert auch existieren und die Funktion wäre (zwar mit einem anderen Bildbereich) trotzdem surjektiv.
Beispielsweise könnte der Grenzwert → unendlich gleich 10 sein, schränkt man dann den Bildbereich auf [f(2), 10) ein, so ist die Funktion auf diesem Intervall surjektiv.
D.h. im Allgemeinen folgt aus der Divergenz für die Surjektivität nichts (vor allem sind das, wie schon oben gesagt, 2 komplett verschiedene Dinge), hier im Speziellen (= strenge Monotonie + Betrachtung des Bildbereichs) jedoch schon.
f(x)=… auf [2,inf) und f(x)=… auf [2,10] sind zwei verschiedene Funktionen. “Surjektiv” bezieht sich immer auf die gesamte Zielmenge.
Würde also ein Grenzwert existieren, so wäre f(x)=… [2,inf) nicht surjektiv.
Sei k der Grenzwert von f(x) fuer x gegen inf, so ist lediglich die Funktion S=eof, die f(x) unter Komposition mit der Exklusionsabbildung e(x)=x von [f(2), inf) nach [f(2), k) bzw. [f(2), k] beschreibt surjektiv.
Zurück zur Aufgabe: Die Surjektivität folgt hier nur aus dem Grenzwert, weil zusätzlich auch der allgemeine Zwischenwertsatz gilt, da die Funktion überall stetig ist.
So hab ich das schon gemeint, dass das eine andere Funktion wäre, deswegen meinte ich ja auch, „falls man den Bildbereich/die Zielmenge einschränkt“. War vlt nicht ganz eindeutig formuliert 
Da hast natürlich Recht. Ich finde aber, man kann sichs mit der strengen Monotonie schöner vorstellen.
Strenge Monotonie ist kein Kriterium.
f(x)={x, fuer x < 100; x+50 fuer x>100} von [2,inf) nach [f(2),inf): Streng monoton, divergent, aber nicht stetig, also kein Zwischenwertsatz und auch nicht surjektiv.
f(x)=2*(x − 2)^2-1/4*(x − 2)^3 von [2,inf) nach [f(2), -inf): Nicht monoton (Wurzeln bei 2 und 10), aber divergiert nach -inf und ist stetig, also nach Zwischenwertsatz surjektiv.
Jojo, das ist schon klar. Die Stetigkeit ist natürlich das passende Kriterium.
Was ich mit “schöner vorstellen” meinte, war lediglich, dass (wenn man weiß, dass die Funktion stetig ist auf dem Intervall ;)) und zusätzlich weiß, dass die Funktion streng monoton steigt, dann MUSS sie ja alle Werte annehmen (ist natürlich dann wegen des Zwischenwertsatzes ne redudante Information). Aber wie gesagt, ich stells mir so halt leichter vor.