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Fragen bzgl. Aufgabe 6 Induktion der Probeklausur WS-1617
Die Aufgabenstellung lässt sich finden hier: https://www8.cs.fau.de/_media/ws16:gloin:probeklausurWS1617.pdf
Eine “Lösung” lässt sich finden hier: https://fsi.cs.fau.de/forum/thread/11159-Probeklausur-WS13-Aufgabe-6-Induktion
Ich habe nun zur Aufgabe und Lösung drei Fragen:
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Für den IS in der Lösung wird E:=mult(E₁,E₂) definiert und für Terme dieser Form gezeigt. Warum garantiert dies bereits die Vollständigkeit der Lösung? Wieso gibt es nicht noch andere Terme? Wo ist gezeigt, dass dies bereits alle Terme sind?
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Wie wird die Abgeschlossenheit von mult sicher gestellt? Denn offenbar hat man: Terme E1, E2 => mult(E1, E2) ist ein Term.
Wird die oBdA einfach angenommen? -
Wo ist definiert: Für e1, e2 \in {0,1} : e1 * e2 \in {0,1} ?
Es gibt ja schon noch andere Arten von Termen, nämlich zero und one. Jedoch ist mult das einzige Funktionssymbol in der Signatur Σ mit Arität > 0, deshalb ist das der einzige Fall den man im IS betrachten muss. Oder anders gesagt: Alle Terme E mit Höhe ≥1 sind von der Form mult(E₁,E₂).
Zu einer Signatur Σ = { zero/0, one/0, mult/2 } ist die Menge der geschlossenen Terme definiert als die kleinste Menge, die unter den operationen zero, one und mult(,) abgeschlossen ist.
Das ist ja auch nirgendwo definiert, denn * bezeichnet hier die gewöhnliche Multiplikation auf den Natürlichen Zahlen (M=ℕ). In der von dir verlinkten Lösung wird das festgestellt. Dabei wird an die Rechenfähigkeit des Lesers appeliert, das selber im Kopf zu verifizieren.
Oh cool, freut mich, dass man das alles so trivial und federwischend machen kann.