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Inhomogene Rekursion
Hallo,
ich habe eine kleine Frage zu inhom. Rekursionen [Aufgabe A17, u7.pdf]:
Zum Beispiel bei der Rekursion:
x_n = 4 x_{n-1} - 4 x_{n-2} + 2^n
… Rechnung …
x_n = a1 * 2^n + a2 * n2^n + a3 n^2 2^n
In den Lsg. zu den Aufgaben auf der Webseite steht immer geschrieben:
Was setzt man jetzt wo genau ein, dass ich ausgerechnet bei a3 auf 1/3 komme?
Danke schonmal!
Ohne die genaue Aufgabenstellung gelesen zu haben: die gegebenen Anfangsbedingungen, z.B. x_0 = 1 (== x(0) = 1), x_1 = 3 (== x(1) = 3), etc.
In der Regel hat man so viele (von einander unabhängige) Anfangsbedingungen wie Unbekannte, bei er Aufgabe also 3.
Der Grundgedanke ist richtig aber bei inhomogenen Rekursionen tritt eine Besonderheit auf, wie man hier im Beispiel sehen kann: Die Gleichung lautet x_n = 4 x_{n-1} - 4 x_{n-2} + 2^n, die Rekursion hat also Grad 2 und die Folge ist mit zwei Anfangswerten eindeutig bestimmt. Aber nach der Rechnung erhält man, wie schon richtig dasteht, x_n = a1 * 2^n + a2 * n2^n + a3 n^2 2^n mit drei freien Parametern. Den dritten benötigten Anfangswert kriegt man zum Beispiel, indem man einfach in die rekursive Gleichung die beiden gegebenen Anfangswerte einsetzt und damit den nächsten Wert berechnet. Was nun alle Lösungen gemeinsam haben und was man durch Rechnung mit allgemeinen Parametern für die Anfangswerte sehen kann ist, dass tatsächlich immer a3=1/2 herauskommt.