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Klausurthread
Eine Frage, die ich mir beim Mathelernen überlegt hab aber bei der ich mir nicht sicher bin:
Sind Funktionen mit Definitionslücken (keine Sprungstellen!) stetig? Also z.b. f(x) = (x+3)(x-2) / (x-2)
Die Funktion ist an der Stelle x = 2 ja einfach undefiniert → Es existiert kein Funktionswert. Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind natürlich gleich. Die ln-Funktion ist ja auch stetig, obwohl sie an manchen Stellen (x <= 0) undefiniert ist.
Nur wenn die Definitionslücke hebbar ist.(Prüfen ob linksseitiger == rechtsseitiger GW)
Sonst sind sie nicht stetig.
D.h. wenn ich in meinem Beispiel x = 2 undefiniert lasse, ist meine Funktion (dort wo sie definiert ist) auch stetig.
Wenn ich aber zusätzlich definiere x = 2 => y = 0, ist die Funktion dann hebbar stetig und oder hebbar unstetig?
den begriff stetigkeit einer funktion darfst du immer nur gemeinsam mit dem Intervall (D c R) verwenden.
[quote] Eine Funktion heißt stetig in D, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.[/quote] (Quelle: wikipedia.de ;))
ln(x) ist definiert auf D = (0; inf) und dort in jedem Pkt stetig.
die fkt f(x) = 1 / x; D=R{0} ist in jdm Punkt von D stetig, lässt sich aber nicht “stetig fortsetzen”
die fkt f(x) = (x²-4) / (x-2) ist auch in D=R{2} stetig, lässt sich aber fortsetzen durch f(2) = 4
Doch ist sie! Ist zwar verwirrend, aber über Stetigkeit lässt sich nur in D eine Aussage machen. D.h. wenn ich einen Punkt NICHT element D habe, dann wird dieser auch nicht betrachtet! Sotsoguk hat’s schon gut erklärt…
Ihr fangt jetzt schon mit Mathe an??? Wow!
Aehnaja. Ueblicherweise interpretiert man “die Funktion f ist stetig” als “die Funktion f ist in allen Punkten stetig”
Kann es dann überhaupt Funktionen geben, die mit einer einzigen Funktionsgleichung beschrieben werden (damit mein ich auch keine Abkürzung wie sgn(x) ) und unstetig sind?
du müsstest schon genauer sagen was du damit meinst. also sgn(x) zb ist ja auch nur in x=0 unstetig. aber wenn ich dich recht verstehe dann wäre ein Beispiel dafür die Dirichlet Funktion:
f(x) = { 1 für x e Q
{ 0 für x e R\Q
( e bedeutet „Element von“)
da stimm ich zu, aber leider ist die gegenteilige Aussage, also „f ist unstetig“ schon seeehr vage und ungenau. deswegen wollt ich da nochmal drauf hinweisen
Brüche zum Beispiel! x+1/x+2; D=R ist doch an der Stelle x=-2 nicht stetig. Wobei man normalerweise D=R/{-2} angeben würde und dann wär’s ja nicht in der Definitonsmenge…
@Michi: “x+1/x+2; D=R” Das so hinzuschreiben ohne die Stelle bei x = -2 explizit zu definieren ist imho nicht erlaubt. Aber ich denk, dass ich das jetzt schon verstanden habe. Danke!
Was anderes: Warum gibt es diese zwei verschiedenen Restglieddarstellungen bei Taylorpolynomen? Effektiv verwendet wird ja meist nur die LaGrange-Darstellung (warum eigentlicht?) aber definiert ist das Restglied auch mit R_n (x) = f(x) - T_n (x).
Wenn es sich aber nur um verschiedene Darstellungen handeln soll, müssten sie ja aber trotzdem gleich sein - sind sie aber nicht. Warum?
ist einfach nur die leicht nachvollziehbare definition: Restglied (oder Fehler) einer Approximation einer Funktion ist die Differenz aus der „richtigen“ Funktion und der Approximation an der Stelle. Lagrange Darstellung ist imho am „leichtesten“ durchzuführen.
ich habe eine frage bezüglich der A41 b
“bestimmen sie alle Extremstellen der Funktion f(x,y)=(x²+y)²+4xy-x”
es wird zuerst nach x und y abgeleitet und gleich null gesetzt
“2(x²+y)*2x+4y-1 = 0
2(x²+y)+4 = 0”
den folgenden schritt verstehe ich nicht
“=> y=-x²-2x”
wie folgt es aus den ableitungen?
Die Ableitung so wie sie in der Musterlösung steht ist falsch.
Richtig müsste sie lauten: 2(x²+y) + 4x
Dann folgt nämlich aus dieser Gleichung gleich 0 gesetzt auch y=-x²-2x.
danke, so einfach war das
Was würdet ihr sagen sin die wichtigsten Themen für die Klausur?
Taylor? Jacobi? :rolleyes:
ich würd mal sagen:
taylorreihe mit restglied,
differenzieren + integrieren in jeglicher form,
grenzwerte, extremwerte
(jacobi)matrix,
determinanten
Eine Frage zur Musterlösung für Aufgabe A39 (Aufgabe 2) b) der Probeklausur:
Wo genau ist bei der Restgliedabschätzung das 3! geblieben? Wurde das vergessen oder absichtlich weggelassen?
Ich bin nämlich der Meinung, dass das fehlt und das Endergebnis eigentlich |R2(x)| <= 1/3 * |x|^3 lauten müsste… (R2 ist somit zwar auch kleiner als 2* |x|^3, aber ich denke da ist doch die kleinste mögliche Schranke gemeint)
Was ist eigentlich aus Basistransformation etc. geworden? Wurde das offiziell weggelassen oder spekuliert ihr nur inoffiziell darauf?
von kräutles hp
[quote]Klausur:
Die Klausur am 7.10.09 erstreckt sich über 90 Minuten. Der klausurrelevante Stoff besteht aus den Themen und Aufgabenstellungen, die auf den Übungsblättern abgedeckt werden (A- und P-Aufgaben). Es empfiehlt sich also zur Vorbereitung, die Aufgaben, insbesondere solche, wo etwas ‘ausgerechnet’ wird, (incl. Sonderblatt/Probeklausur) noch einmal durchzugehen/durchzurechnen. Ausgeschlossen werden kann das Thema Basiswechsel von Blatt 1. [/quote]