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Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme
Hallo,
vlt. kann mir hier jemand bei der Begriffsklärung helfen.
Folie 05-3 sagt aus, dass ein Gleichungssystem Ax = b überbestimmt ist, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt.
Unterbestimmte Gleichungssysteme wurden jetzt in den Foliensätzen noch nicht definiert, ich gehe also mal vom Gegenteil aus und sage äquivalent wie oben, dass ein Gleichungssystem Ax = b unterbestimmt ist, wenn es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt.
Zu meiner Frage:
-
Damit kann es ja dann vorkommen, dass überbestimmte Systeme auch eindeutig lösbar sind, oder nicht?
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Wäre damit folgendes System weder eindeutig lösbar, noch über- oder unterbestimmt?
| 1 2 1 | | 1 |
| 2 1 0 | * x = | -2 |
| 4 8 4 | | 4 |Denn es gibt ja 3 Gleichungen für drei Unbekannte, damit trifft keine Definition zu, aber gleichzeitig ist Gleichung 3 von Gleichung 1 linear abhängig und das System somit nicht eindeutig lösbar.
Wäre cool, wenn jemand helfen könnte.
Mit dieser Definition in der Tat. Nimm einfach ein eindeutig lösbares LGS und füge dieselben Gleichungen erneut hinzu.
Mit dieser Definition: korrekt.
Laut Internet definieren die meisten Skripte das genauso wie AlgoKS bzw. du in deinem Post. Meiner Meinung nach hat man jedoch, wenn man von einem überbestimmten LGS redet, meist etwas wie „wir haben zu viele Gleichungen“, „wir können nicht allen genügen“ und „wir brauchen ein Minimierungsproblem“ (= Ausgleichsrechnung, z. B. Least Squares).
Hingegen bei einem unterbestimmten LGS hat man meist „wir haben ein paar Freiheitsgrade zu viel“ und „wir benötigen Randbedingungen, das System erlaubt zu viele Lösungen, die in der Realität gar nicht vorkommen könnten“ im Kopf.
Ich würde bei den strikten Definitionen bleiben, aber die oft mitschwingende Interpretation im Hinterkopf behalten 
Vielen Dank, ja diese „mitschwingende Interpretation“ hatte ich eben auch im Kopf.
Ich frage auch bloß nach einer möglichst „exakten“ Definition, weil in den vergangen zwei Semestern jeweils ein solches Gleichungssystem wie in meinem Beispiel oben als Teil einer Klausuraufgabe frei nach dem Motto „Sind folgende Systeme unter-, überbestimmt oder eindeutig lösbar“ gestellt wurde.
Aber auch in der Definition geht es um Gleichungen. Nicht um die Anzahl an Zeilen in der Matrix.
Wenn sie linear Abhängig ist, dann hast du weniger Gleichungen als Zeilen, da die linear Abhängigen Zeilen nur einmal eine neue Information über das System liefern.
Ok, danke schön für die Klärung. 