Disclaimer: Dieser Thread wurde aus dem alten Forum importiert. Daher werden eventuell nicht alle Formatierungen richtig angezeigt. Der ursprüngliche Thread beginnt im zweiten Post dieses Threads.
Übungsblatt 1
Gleich mal zur Aufgabe 1 eine Frage. Ich war natürlich nicht in der Vorlesung und bin mir vor Allem mit der Notation unsicher. Mein aktueller Wissensstand zu dem Thema kommt hauptsächlich aus Wikipedia:
Wenn ich bei der Aufgabe a) die Permutationen als Hintereinanderschaltung von Transpositionen schreiben soll, ist das dann in etwa so gemeint. (Ich wähl jetzt mal ein anderes Beispiel):
1 2 3 4 5
σ = ( ) = (15) * (34) Gerade Anzahl an Transpositionen -> sign(σ) = 1
5 2 4 3 1Kann das so stimmen?
Zur b): Die Inverse in der Matrixdarstellung ist ja einfach die beiden Zeilen der Matrix vertauschen oder? Und geh ich richtig in der Annahme, dass das Inverse einer Vertauschung die Vertauschung selber ist, weil es ja keinen Unterschied macht, ob man a mit b oder b mit a vertauscht → (ab) = (ba) Kann man das so schreiben?
Ja, ich glaube das stimmt so, wie du’s geschrieben hast.
Es gibt ja noch die Zyklennotation, in der man sozusagen immer das erste Element hintenanstellt, um zur Permutation zu gelangen, aber hier waren ja Vertauschungen verlangt.
1 2 3 4
2 4 3 1 = (4 1)(1 2) = (1 2 4)
2 4 3 1
1 2 3 4 = (4 2)(1 2) = (1 2)(4 1)
Aufgabe 3a):
Gehe ich richtig in der Annahme, dass man hier nur jeweils die 3 Vektoren als Matrix hinschreiben muss? Wenn man in die Standardbasis wechselt, braucht man ja nicht mehr groß “rumrechnen”. Würde sich auch mit dem Hinweis “Lesen sie … ab” decken.
Und bei der b) dann einfach die eine Matrix invertieren dann oder?
Und zur c): Das sind ja jetzt 3 Matritzen in dieser Formel. Was bedeutet es, dass diese “hintereinander” stehen? Soll man hier erst die erste mit der zweiten und das Ergebnis anschließend mit der dritten multiplizieren?
matrix multiplikation ist assoziativ.
(A x B) x C = A x (B x C)
Wie kann ich eine Matrix denn in die obere dreiecksform transformieren? (Aufgabe A2b) Hab ewig mit den Gaußschen Rechenregeln rumprobiert, ich bekomm da unten nie komplett 0er hin.
Bestimmt gibt es ein sehr einfaches Verfahren.
Meine “naheste” Lösung war :
1 2 1 2
0 0 -2 6
0 0 1 7
1 0 0 -2
help.
Syntax:
Zn := Zeile n
vorher → nachher
Z3 * 2 + Z2 → Z4
Z4 * (-1) + Z1 → Z2
Z1 → Z1
Z3 → Z3
gibt bei mir
1 2 1 2
0 2 1 4
0 0 1 7
0 0 0 30
Kann sein, dass ich vollkommen danebenliege, aber das ist das was ich aus dem Kopf jetzt so machen und rausbekommen wuerde… Vielleicht hab ich auch grade nur das Verfahren verwechselt, Bronstein hab ich hier keinen zur Hand und WP is eh immer flasch 
ja sag mal muss man da echt rumprobiern bis ma auf ne lösung kommt? wie ätzend…
aber vielen Dank!!
ist doch ganz normales Verfahren:
Zuerst ziehste Vielfache von Zeile 1 von den Zeilen 2 3 und 4 ab, damit da ne 0 in der erstne spalte steht. Dann ziehste vielfache von der Zeile 2 von den Zeilen 3 und 4 ab, damit die in der zweiten spalte auch 0 werden; Dann Vielfaches von Zeile 3 von Zeile 4 abziehen, damit Spalte 3 dort 0 wird, und fertig.
Natuerlich muss man da ein bischen rumprobieren. Mathe ist nicht “Kochrezept nehmen, von oben nach unten abarbeiten, fertig”. Und es ist bei der Matrix die du gezeigt hast sehr sehr leicht, zu sehen, wie man sie verwursten muss, damit sie obere Dreiecksform bekommt. Du musst dir nur immer anschauen, wie du jeweils den Zeilenanfang einer Zeile zu ‘0’ bekommst, und das ist halt bei Z3 und Z2 und Z1 und Z4 besonders leicht wenn man nen geeigneten Faktor draufmultipliziert. Denken muss man immer bei solchen Aufgaben, ich verstehe ueberhaupt nicht, wie man auch nur auf die Idee kommen koennte dass es anders sein sollte…
Diese Determinante sollte 40 sein.
Aber ich kriege es nicht hin mit Gauss.
Letztes mal habe ich das bekommen:
1 2 1 2
0 2 2 1
0 0 3 1
0 0 0 1Laut Regel sollte jetzt det A = 1 * 2 * 3 * 1 = 6
Irgendwie, ist es falsch…
Auf der Diagonalen sollten irgendwelche Zahlen stehen, die 40 geben wenn man sie multipliziert.
So habe ich gemacht (sehr ausführlich geschrieben):
1 2 1 2 | *(+2) 2 4 2 4
2 0 -2 2 | *(-1) => -2 0 2 -2 =>
1 -2 0 1 | *(-2) -2 4 0 -2
2 2 1 0 | *(-1) -2 -2 -1 0
Der Zeilen 2 bis 4 die erste Zeile addieren:
2 4 2 4 2 4 2 4
0 4 4 2 | *( 2) => 0 8 8 4 =>
0 8 2 2 | *(-1) 0 -8 -2 -2
0 2 1 4 | *(-4) 0 -8 -4 -16
Der Zeilen 3 und 4 die 2 Zeile addieren:
2 4 2 4 2 4 2 4
0 8 8 4 => 0 8 8 4
0 0 6 2 | *( 4) 0 0 24 8
0 0 4 -12 | *(-6) 0 0 -24 72
Der vierten Zeile die dritte addieren:
2 4 2 4 | /2 1 2 1 2
0 8 8 4 | /4 => 0 2 2 1
0 0 24 8 | /8 0 0 3 1
0 0 0 80 | /80 0 0 0 1Ihr habts ja auch falsch gerechnet.
Wenn man ne Zeile mit nem Skalar multipliziert, muss man das mit der Determinante verrechnen
Det(dreieck) = Det(normal) * Skalare
Bei der MAtrix kommt raus:
-2 -4 -2 -4
0 4 4 2
0 0 -6 -2
0 0 0 -20Die Determinante daraus ist 960, aber bei der Berechnung, hab ich insgesamt die Gleichung multipliziert mit : -2 2 -1 1/2 2 -2 3
Teil ich meine Determinante durch diese Skalare kommt 40 raus.
Das war’s! Danke.
Hab hier ma die teilschritte, damit ists ganz verständlich.
In Spalte 5 steht das Skalar mit dem im Schritt vorher multipliziert wurde
also mit Gauß hab ich 40 raus:
1 2 1 2
0 -4 -4 -2
0 -4 -1 -1
0 -2 -1 -4
1 2 1 2
0 -4 -4 -2
0 0 3 1
0 0 1 -3
1 2 1 2
0 -4 -4 -2
0 0 3 1
0 0 0 -3.33333
det = 1 * (-4) * 3 * (-3 1/3) = (-4) * (-10) = 40
Aber dann stimmt mein Laplace nicht, da hab ich -8 (super, das wird ein rumgerechne)
Sicher, dass man das nicht so schreibt:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 3 1 = 2 1 3 4 * 1 4 3 2
Von rechts nach links gelesen, also 4 wird abgebildet auf 2 und 2 auf 1 => 4 auf 1 wie in der Ausgangsmatrix, ist aber im Prinzip nix anderes als die Ganze Matrix hingeschrieben in der Vertauscht wurde, so stehts zumindest auf wikipedia, die Notation in der man nur die vertauschten elemente hinschreibt hab ich nirgends gesehen
Die Schreibweise hab ich aber auch von Wikipedia…
(http://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Beispiele_zur_Komposition_von_Permutationen)
Aber falsch isses trotzdem, was ich geschrieben habe:
es muss (4 1)(1 2) statt (1 2)(4 1) heissen, und bei
der Rückrichtung (4 2)(1 2) statt (4 1)(1 2)
(habs korrigiert)
ich glaub ich versteh die Notation nicht so ganz, du gibst doch in den Klammern da nur an welche Zahlen du miteinander vertauschst, dann ist doch die reihenfolge egal, oder muss man das ganz anders verstehen.
Die Reihenfolge ist egal, wenn die Paare, die vertauscht werden, verschieden sind:
z.B. (a b c d) → (b a c d) → (b a d c) a,b und c,d werden vertauscht.
Aber wenn man z.B. a mit b und dann b mit c vertauscht, kommt etwas anderes heraus,
als wenn man erst b mit c und danach a mit b tauscht:
(a b c d) → (b a c d) → (c a b d)
(a b c d) → (a c b d) → (b c a d)
Ah stimmt, bin bissl durcheinandergekommen weil ichs immer nur im Kopf durchpermutiert hab 