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Übungsblatt 3
Aufgabe A9 ist von “kontraktant” die Rede. Weiß jemand, was man in diesen Zusammenhang darunter versteht? Bei Wikipedia und Google hab ich auf die schnelle nichts gefunden.
Edit: Bin fündig geworden unter http://de.wikipedia.org/wiki/Kontraktion_(Mathematik). Dort is die Rede kontrahierend bzw. kontraktiv. Dürfte vermutlich das gleiche sein.
Ganz genau! Diese ungelungene Formulierung wurde heute auch schon vom Uebungsleiter kritisiert.
Da hilft das Französischwörterbuch weiter 
[contractant/contracter]
Zur Aufgabe 9:
Hab ich das richtig verstanden, dass man kontraktiv (bzw. “kontraktant”) folgendermaßen zeigt (am Beispiel a) i):
- Selbstabbildend:
z.Z: Bildbereich ist Teilmenge von Wertebereich:
Es gilt ja D = [ Wurzel (2/3 alpha) , Unendlich [ (richtig so? b ist ja nicht definiert)
D.h. man muss nur noch zeigen, dass kein Funktionswert kleiner als Wurzel (2/3 alpha) ist?
- Lipschitz-Bedingung:
z.Z.: Phi’(x) < 1 im Definitionsbereich.
Stimmt das so?
Da werden Erinnerungen wach… :scared:
A9 b) versteh ich nicht ganz:
Die Bedingung den Fixpunktsatz anwenden zu dürfen ist doch, dass Phi kontraktiv ist. Und dass das sowohl für alpha > 0 als auch alpha < 0 (mit geeignetem a) geht, wurde ja in Teilaufgabe a) gezeigt.
Die andere Bedingung (http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktsatz_von_Banach) müsste auch erfüllt sein, denn der reelle Raum ist afaik auch ein vollständiger metrischer Raum.
Warum sollte man den Fixpunktsatz also für alpha < 0 nicht und für alpha > 0 nur in bestimmten Fällen anwenden dürfen?
Kommt es nur mir so vor dass die Aufgaben um einiges verrückter sind als im 2. Semester?
Ne das is tatsächlich so. Wenn ich mir da mal meine Lösung zur A8 b) so anschau. Das is echt crazy aber es muss stimmen, weil ich es mit dem Computer nachgerechnet habe.
(brauch immer noch Hilfe bei der A9^^)
wie hast du denn gezeigt das für alpha<0 dass phi kontraktiv ist?
also ich bekomme einfach nicht raus wie es selbstabbildend ist…
also ich hab beta=-alpha>0 => a>sqrt(2beta)
phi(sqrt(2beta))=(1/2)*(sqrt(2beta)-bata/sqrt(2beta))=(1/4)*sqrt(2beta) < sqrt(2beta) =>liegt nicht mehr drinne
oder hab ich da was falsch verstanden??
mal ne frage zur A9a)
für eine Kontraktion muss ich doch zeigen dass:
phi(b)-phi(a) <= L*(b-a) (0<L<1)
ist. lieg ich damit richtig? ich komm dann aber nur auf :
1 - (alpha / ab) <2
was mir absolut nix bringt…
also ich denk
kontraktion:
-selbstabbildend
-lipschitzstetig
|phi(x)-phi(y)|<=L* |x-y|
und ich bekommen L = 1/2
aber halt nur bei alpha>0
beim anderen bekomm ich einfach nicht raus wie es selbstabbildend ist
also ich habs jetzt so gemacht (die angabe sagt ja nur wenn das gilt dann soll das gelten ) dass ich die zahlen aus (i) und (ii) eingesetzt hab und gezeigt dass es ein L<1 gibt.
edit: also ich glaub ich weiß jetzt wie man auf die werte aus A9a (i) kommt:
es muss ja gelten:
0< max|phi’(x)| <1 und da phi’ = 0.5(1- alpha/x²) ist ist max|phi’(x)| an der unteren grenze des intervals,
=> (alpha >0) a>sqrt(2/3 alpha) (analog für alpha <0)
Ist es auch nicht… Gegenbsp: alpha = -1 < 0 und a = 0,5 dann müsste das Ergebnis ja >=0,5 sein… Es kommt aber -3/4 raus und das ist eindeutig kleiner als 0,5!
=> nicht selbstabbildend für alpha < 0
also ist es auch nicht kontraktiv
folglich kann man auch den fixpunktsatz nicht anwenden
Habs mir nochmal angeschaut und konnte es für alpha < 0 auch nicht zeigen. Dann ist die Angabe aber falsch!?
du sollst nur zeigen dass es für gewisse werte für alpha <0 kontrahierend ist, aber du kannst deswegen trotzdem nicht banach anwenden