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alte Klausuraufgabe
2009 wurde folgendes gefragt:
Die Zufallsvariablen X_1 und X_2 seien uniform verteil auf [0,2]. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (X_1X_2 <= 1/2).
Hab keine Ahnung, wie man da rangehen soll…
Keine Ahnung, habs probiert, aber ich komm nich auf die richtige Gesamtdichte f(x1,x2), somit kommt bei mir dann Müll raus 
Ich hab die Ungleichung umgestellt und daraus die Funktion 1/2*x gemacht. Danach von 0,25 bis 2 integriert + links das Rechteck (0,25 * 2) dazu addiert und am Ende das ganze durch die Gesamtfläche (4) dividiert. Formell vermutlich nicht wirklich richtig, aber das Ergebnis stimmt xD
Moment, du hast 1/2*x als Integrand genommen? Wie hast du dann ohne Dichte die Wahrscheinlichkeit ausrechnen können? Und woher kommt das Rechteck? ^^
Ich hab mir das halt als Funktion vorgestellt. Ein Rechteck mit Ausmaß 2 x 2. x = x_1, y = x_2. Wenn du da jetzt die Funktion einzeichnest ist die Gewollte Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Funktion (also Integrieren) / die Gesamtfläche 4.
Siehe http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(2*x)+from+x%3D0+to+2+y%3D0+to+2
Edith: Und das Rechteck kommt daher, dass x_1 und x_2 Werte im Bereich [0;2] annehmen 
Ah, ok Danke 
Was hast du da raus? Hab jetzt nochmal mit Dichten nachgerechnet und komme auf ca. 0.17.
Edit: Jo, Wolfram gibt mir das aus: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x1+*+x2+<%3D+0.5+for+x1%2Cx2+from+0+to+2
So hab ichs auch gerechnet, aber iwie denk ich ich mach da noch was falsch, hab mich wohl iwo verrechnet 
Das ist der intuitive und anschauliche Ansatz
0,384
Ok, Tatsache, bin auch auf 0.384 mit der intuitiven Methode, Danke nochmal :D. Wenn das auch in der Klausur volle Punktzahl gibt, wärs toll, aber ich probier noch bissl mit den Dichten rum hier, evtl. komm ich ja auch aufs Ergebnis xD
habs wie futsch…denke der ansatz sollte in der klausur auch gehn.
erlaeuter mal was du mit den dichten gerechnet hast ? vllt sehn wir den fehler
Ich nehme an, dass ich nen völlig falschen Ansatz zur Berechnung der Dichten genommen hab. Ich wüsst aber nich, wie ich sonst nicht stochastisch unabhängige Dichten berechnen kann
Attachment:
fehler.pdf: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_94132/fehler.pdf
Mhm, das ist ja alles schön und gut, aber könnt ihr mir mal sagen, wie ich 1/2(ln(2)- ln(0.25)) ohne Taschenrechner in der Klausur ausrechnen soll? Ich mein, das mit der Potenzreihe zu berechnen ist schon recht aufwendig und meiner Meinung nach auch nicht wirklich der Sinn dahinter -.-
ln(2)-ln(0.25) = ln(2/0.25) = ln(8) ~ 2,1
=> ~ 1/4.2 ~ 0.24
So hätte ich das überschlagsmäßig gerechnet. Der Check im TR ergibt dass ich da garnicht weit von weg bin.
Hab auch mal die restlichen Aufgaben von dieser Klausur durchgerechnet:
A1: 101/144 = 70,14%
A2: c=10; f1(x1) = 10/3*(e^(-2x1)-e^(-5x1)); f2(x2) = 5e^(-5x2)
A4: 1/9
Joa, das hab ich auch 
Kann ich auch bestätigen!
Auf A1 und A2 komme ich.
wie berechne ich A4?
Vielen Dank
Die Formel für die Kovarianz ist (statt Epsilon schreib ich E): cov(X1-X2,X1) = E(X1^2) - (E(X1))^2 - (E(X1X2)) - E(X1)E(X2).
Für die Dichte bekommst du 1/2 raus. E(X1^2) ist m2(X1), E(X1)^2 = m1(X1)^2 usw. Und der Rest ist einfach: für m1(X1) bestimmst du das Doppelintegral von 1/2X1, für m1(X2) das Doppelintegral von 1/2X2 für m2 jeweils eben das 1/2 mit dem entsprechenden X^2 mal nehmen. Für E(X1X2) nimmst du entsprechend 1/2*X1X2.
Dann setzt du die Einzelergebnisse in deine Kovarianzgleichung ein und dann sollte 1/9 rauskommen.
Hoffe das hat geholfen!