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Aufgabenblatt 12
Okay, dann mal schnell Ergebnisse zu den zwei leichteren Aufgaben vom aktuellen Blatt:
49 a) a1 ⊥ a2 , a1 ⊥ a3 und a2 ⊥ a3
b) Im A = span{a1,a2,a3} ; Rang A = 3
(2 0 0 0)
P = ½ (0 1 0 1)
(0 0 2 0)
(0 1 0 1)
50 a)
( 0 -1 -1)
A^-1 = ( 2 5 2)
(-1 -3 -1)
b) Rang C = 2 >> C ist nicht invertierbar
(-2 -6 -2)
C^2 = C^10 = ( 1 3 1)
( 0 0 0)
Kann mir mal jemand verraten, was die Vektoren p und w bei Aufgabe 49 sollen? Entweder ich hab da grad was total verplant, oder sind die zwei Vektoren vielleicht Teil einer vergessenen Teilaufgabe…? 
Wird wohl so sein mit p und w.
Bei der 48 hab ich als allgemeinen Kern A={0} mit den entsprechenden Dimensionen. Projektions- und Spiegelungseigenschaft ist einfach nachrechnen mit viel Linearität des Skalarprodukts, U=Bild P=Bild A=R^n und Spiegelraum ist Kern(S-Id)=Kern(A)={0}.
Also das mit den 2 Nachweisen ist ja wirklich nur nachrechnen und an entsprechender Stelle halt <a,b>=1 einsetzen.
Ansonsten hat ich den Rest auch erst so, allerdings irgendwie nur so halbherzig begründet. Dann hab ich einfach mal n=2 hergenommen und dafür den Kern ausgerechnet >> Für <a,b> = 1 bekomme ich einen Freiheitsgrad. D.h. dim Kern A = 1 und damit Kern A =/= {0} und damit auch U =/= R^n
blöd…
Also die Beziehungen U=Bild P=Bild A und Kern(S-Id)=Kern(-2A)=Kern(A) stimmen.
Aber die Frage ist jetzt halt was Bild A und Kern(A) für <a,b>=1 sind. Und R^n und {0} scheinen es nicht zu sein. Müsste dann ja auch für n=2 zutreffen…?
Bin grad etwas verwirrt, liegt aber evtl. auch an der späten Stunde
Argh, ja du hast Recht. Im Fall <a,b>=1 hat mans ja nichtmehr mit dem allgemeinen Kern A zu tun. ^^
Ja, blöde Sache.
Und so richtig allgemein kann der Kern {0} damit dann auch nicht mehr sein
Der allgemeine Kern muss doch f(x) = x - a <x,b> = 0 <=> x_k - a_k <x,b> = 0 ∀k∈{1,…,n} ∀a,b∈R^n erfüllen. Da konnte ich zeigen das nur x=0 das schafft.
Bis jetzt siehts so aus als hätte Kern A unter der Bedingung <a,b>=1 immer einen Freiheitsgrad, kann ich aber bisher nicht formal begründen. Wenn man das über Gauss macht müsste man eigentlich seine Schritte verallgemeinern können…
Naja, du schreibst ja selber für alle a und b… Und für alle a und b gibts eben nicht nur die Lösung x=0. Wär das der Fall, müsste das ja auch für den Fall <a,b>=1 zutreffen, oder nicht?
Seh ich auch so. Es scheint, als fällt die letzte Zeile immer weg. Ich kanns aber auch noch nicht formal begründen. Ich kann dann auch noch nicht sagen, wie allgemein das U aussieht oder der Kern(S-Id). Höchstens, wie sich halt die Dimensionen zueinander verhalten.
Das (1-ab) was in jeder Zeile einmal auftaucht nervt halt gewaltig, auch in Hinblick auf Verallgemeinern mit Gauss…
∀a,b∈R^n bezieht sich hier doch auf die Gleichung f(x)=0. Sprich: egal welche a,b du hernimmst, x∈Kern A ⇒ f(x)=0 muss gelten. Deine Argumentation geht in die Richtung f(x)=0 mit a,b∈R^n, die du als Parameter betrachtest. Wenn wir dann den Fall <a,b>=1 betrachten, wäre das bei mir auch nicht anders: jetzt muss das eben ∀a,b∈R^n mit der Einschränkung <a,b>=1 gelten.
Achso: ich schreib hier der Faulheit halber immer ∀a,b∈R^n, eigentlich haben wir noch eine Einschränkung gegeben, nämlich ∀a,b∈R^n : a≠0≠b.
Mittlerweile bin ich mir garnicht mehr so sicher ob die wirklich den allgemeinen Kern ∀a,b … haben wollen, oder den parameterisierten Kern. Könntest durchaus Recht haben, weil die von „gegebenen“ Vektoren a,b sprechen.
Ja klar, hast natürlich Recht. Vergiss den Einwand ganz schnell
Naja, aber x=0 ist immer Lösung von f(x)=0, soviel steht fest.
Das was du bemerkt hast, da hab ich mich wirklich verdacht. Nur weils für <a,b>=1 einen nennen wirs spezielleren Kern gibt, ist für alle a und b der größte gemeinsame Nenner in Sachen Kern nach wie vor {0}.
“parameterisierten Kern”: Hab jetzt noch nicht weiter gemacht, aber in Hinblick auf den Fall <a,b>=1 und die Bestimmung von U und Kern(S-Id) wird man da wohl so oder so nicht drum rum kommen…?
Oder das geht alles viel einfacher und ich überseh irgendwas…
Also nach einigem Rumprobieren mit der Gleichung für den parameterisierten Kern ohne weitere Einschränkung, siehts sehr danach aus das man auch auf {0} kommt. Das lässt mich schon wieder sehr an dem Unterschied zwischen allgemeinem u parameterisierten Kern zweifeln. Hätte eigentlich schon vermutet das sich ein x≠0 in Abhängigkeit von a,b finden lässt, das die Kerngleichung erfüllt, nachdem ∀ ja doch ein hartes Kriterium ist. :>
Löl: im sonderbaren Fall a=b mit |a|=|b|=1 muss <x,b>a=<x,a>a=x gelten, also wäre x=a auch im Kern. Oder darf man a≠0≠b als a≠b ∧ a≠0 ∧ b≠0 verstehen?
So dumm war der Sonderfall garnicht, hat mich nämlich auf Folgendes im Fall <a,b>=1 gebracht: f(λa)=λa - <λa,b>a = λa - λa<a,b> = λa-λa=0, also ist schonmal span{a} ⊂ Kern A klar.
Angenommen ich finde ein Orthogonalprojektion P in den Orthogonalraum von b, dann könnte ich doch f(x)=x-a<x,b> zu f(u)=u-a<u,b>=u-a*0=u mit u = P x “vereinfachen” und müsste nurnoch f(u)=u=0 für den Kern bestimmen.
Hab P jetzt mal bestimmt und kann nur zugeben das es ne Schappsidee war. 
Tag!
Ich hätte da mal 'ne (möglicherweise dumme) Frage:
Wie mache ich bei Aufgabe 49 die Orthogonalprojektion der Matrix auf das Bild A? Hab da überhaupt keinen Plan.
Danke schonmal.
MFG
Daniel
Einfach die normierten Basisvektoren deines Bildes mit sich selber vertensorn und addieren. Haben wir glaub letzte Vorlesung so ziemlich am Schluss gemacht. Die Gramsche Matrix ist da übrigens nur nervig, also lass das lieber…
OK, danke schonmal (War in der Vorlesung nicht so konzentriert dabei ).
Nur nochmal zur Kontrolle, dass ich keinen Schwachsinn ausrechne:
Die Basisvektoren des Bildes sind:
(2,-1,2,-1), (0,1,0,1), (0,0,1,0)
Die normiere ich und erhalte:
(2,-1,2,-1)/√10, (0,1,0,1)/√2, (0,0,1,0)/√1=(0,0,1,0)
Da vertensor ich dann jeden Vektor mit sich selbst und addiere das ganze?
Also ich hab schonmal andere Basisvektoren, aber deine passen natürlich auch. Die Normierung dürfte auch passen, also schau doch einfach mal was du kriegst. Chip hats ja oben schon gepostet…
Naja…mein Ergebnis ist folgendes:
(2,-1,2,-1)
P= 1/5 (-1,3,-1,3)
(2,-1,7,-1)
(-1,3,-1,3)
Sieht verdächtig nach Nonsense aus…
Könnt ihr mir vielleicht mal eure Basisvektoren sagen, dass ich den Fehler finde?
Ich hab Bild A = … = span{ u1, u2, u3 } = span{ (1,0,0,0)^T , 1/√2 (0,1,0,1)^T , (0,0,1,0)^T }
Dann mach ich halt \Sum_{k=1}^3 u_k . u_k = u1.u1 + u2.u2 + u3.u3 (Summe von k=1 bis 3 … mit “.” als Tensorprodukt) und komme auf das von oben.
Wie genau kommst du darauf (Vor allem das 1/√2)?
Ich transponiere doch die Matrix, und wende dann Gauss an, oder?
Da komme ich auf:
(2,-1,2,-1), (0,1,0,1), (0,0,1,0)
Du kommst auf Bild A = span { (2,-1,2,-1)^T , (0,1,0,1)^T , (0,0,1,0)^T } = λ1(2,-1,2,-1)^T + λ2(0,1,0,1)^T + λ3(0,0,1,0)^T ∀ λ1,2,3 ∈R. Ich hab jetzt die λs so gewählt das ich eben die schön einfachen Basisvektoren bekomme…
Interessant, ich hab das ein wenig anders gemacht… Ging aber genauso kurz und schnell und das Ergebniss scheint ja das gleiche zu sein. Ich sollte evtl. echt mal in der Vorlesung zuhören…
Jetzt muss ich nur noch was zur 51 schreiben. Find ich selten dämlich die Aufgabe. Dann auch noch 4 Punkte. Irgendwie rechter Schmarn.
Die Versuche “Algorithmik” auf die Art und Weise in Mathe einzuwerfen sind doch mehr als bekloppt.
Naja, egal.